Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\) (2 pts)
- \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2-x}{3x^2+1}\) (3 pts)
Correction
- \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\), donc la limite est \(2\).
- En factorisant par \(x^2\) : la limite est \(\dfrac23\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2-5x+6}{x-2}\) pour \(x\neq2\).
- Simplifier \(f(x)\). (2 pts)
- Peut-on prolonger \(f\) par continuité en \(2\) ? (3 pts)
Correction
- \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\), donc \(f(x) = x-3\).
- \(\lim\limits_{x\to2}f(x) = -1\) : en posant \(f(2) = -1\), la fonction devient continue en \(2\).
Exercice 3 (5 pts)
Montrer que l'équation \(x^3-2x-5 = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([2\,;3]\), puis donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}5\).
Correction
\(f(x) = x^3-2x-5\) est continue et \(f'(x) = 3x^2-2>0\) sur \([2\,;3]\) : \(f\) est strictement croissante. \(f(2) = -1<0\) et \(f(3) = 16>0\) : la solution \(\alpha\) existe et est unique. \(f(2{,}5) = 15{,}625-5-5 = 5{,}625>0\), donc \(\alpha\in\,]2\,;2{,}5[\).
Exercice 4 (5 pts)
Le bénéfice réalisé pour \(q\) articles vendus est \(B(q) = \dfrac{100q-500}{q+5}\) (en milliers de dirhams).
- Calculer \(\lim\limits_{q\to+\infty}B(q)\). (3 pts)
- Interpréter économiquement. (2 pts)
Correction
- En factorisant par \(q\) : \(B(q) = \dfrac{100-\frac{500}{q}}{1+\frac5q}\to100\).
- Le bénéfice plafonne à \(100\,000\) dirhams : augmenter indéfiniment la production ne permet pas de dépasser ce seuil.