Série 2 — formes indéterminées, continuité et applications économiques.
Exercice 1
Calculer \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\).
Correction
Pour \(x\neq3\) : \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3\). La limite vaut \(6\).
Exercice 2
Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+2x}{x^2-1}\).
Correction
Je factorise par \(x^2\) au numérateur et au dénominateur :
La limite vaut \(3\).
Exercice 3
Calculer \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\).
Correction
Je multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt{x+1}+1\) :
La limite vaut \(\dfrac12\).
Exercice 4
Déterminer \(\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{1}{x-2}\) et \(\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{1}{x-2}\).
Correction
Pour \(x<2\), \(x-2<0\) : la limite à gauche est \(-\infty\). Pour \(x>2\), \(x-2>0\) : la limite à droite est \(+\infty\). La droite d'équation \(x = 2\) est une asymptote verticale.
Exercice 5
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}\) pour \(x\neq2\) et \(f(2) = a\). Pour quelle valeur de \(a\) la fonction \(f\) est-elle continue en \(2\) ?
Correction
Pour \(x\neq2\) : \(f(x) = x+2\), donc \(\lim\limits_{x\to2}f(x) = 4\). La continuité en \(2\) exige \(f(2) = 4\), donc \(a = 4\).
Exercice 6
Montrer que l'équation \(x^3+x-3 = 0\) admet une solution unique dans \([1\,;2]\).
Correction
\(f(x) = x^3+x-3\) est continue et \(f'(x) = 3x^2+1>0\) : \(f\) est strictement croissante. \(f(1) = -1<0\) et \(f(2) = 7>0\) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution unique dans \(]1\,;2[\).
Exercice 7
Le coût total de production de \(q\) articles est \(C(q) = q^2+10q+100\). On appelle coût moyen \(CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}\) pour \(q>0\).
- Calculer \(\lim\limits_{q\to0^+}CM(q)\) et interpréter.
- Calculer \(\lim\limits_{q\to+\infty}\left(CM(q)-q\right)\).
Correction
\(CM(q) = q+10+\dfrac{100}{q}\).
- \(\lim\limits_{q\to0^+}CM(q) = +\infty\) : pour une très petite production, le coût fixe de \(100\) est réparti sur très peu d'articles, donc le coût unitaire explose.
- \(CM(q)-q = 10+\dfrac{100}{q}\to10\) : la courbe du coût moyen admet la droite \(y = q+10\) comme asymptote oblique.