L'essentiel en une page
Définition. \(\ln\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\), c'est la primitive de \(\dfrac1x\) qui s'annule en \(1\).
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) |
| Quotient | \(\ln\dfrac ab = \ln a - \ln b\) |
| Puissance | \(\ln(a^n) = n\ln a\) |
| Racine | \(\ln\sqrt a = \dfrac12\ln a\) |
| Dérivée | \((\ln x)' = \dfrac1x\) ; \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) |
Limites : \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty\).
| Croissances comparées | Limite |
|---|---|
| \(\dfrac{\ln x}{x}\) en \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\dfrac{\ln x}{x^n}\) en \(+\infty\) | \(0\) |
| \(x\ln x\) en \(0^+\) | \(0\) |
| \(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
Inégalité utile : \(\ln x \le x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Ce que je dois savoir faire
- Résoudre équations et inéquations avec conditions d'existence.
- Poser \(X = \ln x\) pour une équation du second degré.
- Calculer des limites avec les croissances comparées.
- Dériver et étudier une fonction contenant \(\ln\).
- Reconnaître les primitives \(\frac{u'}{u}\) et \(u'u\).
Les pièges à éviter
- Toujours poser la condition \(u > 0\) avant de résoudre.
- \(\ln(a+b) \ne \ln a + \ln b\).
- \(\ln\) est croissante : une inéquation garde le sens.
- Vérifier les solutions dans le domaine à la fin.
Testez-vous en 3 minutes
\(\ln 1\) ? \(\ln(e^3)\) ? Dérivée de \(\ln(3x+1)\) ? \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\) ?
Réponses
\(0\) ; \(3\) ; \(\dfrac{3}{3x+1}\) ; \(0\).