Série 2 — équations, limites et études de fonctions.
Exercice 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln(x-1) + \ln(x+1) = \ln 8\).
Correction
Conditions : \(x > 1\). L'équation donne \(x^2 - 1 = 8\), soit \(x^2 = 9\) : \(x = 3\) (on rejette \(-3\)).
Exercice 2
Résoudre \(\ln^2 x - 3\ln x + 2 = 0\).
Correction
On pose \(X = \ln x\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\) donne \(X = 1\) ou \(X = 2\). Donc \(x = e\) ou \(x = e^2\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x\).
Correction
Les deux limites valent \(0\) (croissances comparées).
Exercice 4
Soit \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
- En déduire le minimum de \(f\).
Correction
- \(f'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x-1}{x}\) : négative sur \(]0\,;1[\), positive après.
- Le minimum vaut \(f(1) = 1\) ; on en déduit que \(\ln x \le x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Exercice 5
Soit \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\).
- Déterminer \(D_g\) et étudier la parité.
- Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations.
Correction
- \(D_g = \mathbb{R}\) ; \(g(-x) = g(x)\) : la fonction est paire.
- \(g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\), du signe de \(x\) : \(g\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\), croît ensuite ; minimum \(g(0) = 0\).
Exercice 6
Résoudre l'inéquation \(\ln(2x - 3) \le 0\).
Correction
Condition : \(x > 1{,}5\). \(\ln\) est croissante : \(2x - 3 \le 1\), donc \(x \le 2\). \(S = \,]1{,}5\,;2]\).
Exercice 7
Déterminer une primitive de \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
Correction
C'est de la forme \(u'u\) avec \(u = \ln x\) : une primitive est \(\dfrac{\ln^2 x}{2}\).