Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(\ln(3x - 2) = 0\) (2 pts)
- \(\ln x + \ln(x - 2) = \ln 3\) (3 pts)
Correction
- \(3x - 2 = 1\) donne \(x = 1\).
- Condition \(x > 2\) ; \(x(x-2) = 3\) donne \(x^2 - 2x - 3 = 0\) : \(x = 3\) (on rejette \(-1\)).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x\) (1{,}5 pt)
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x - \ln x\right)\) (1{,}5 pt)
Correction
- \(-\infty\).
- \(0\) (croissances comparées).
- \(+\infty\), car \(x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(f(x) = \ln x - x + 2\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. (3 pts)
- Dresser le tableau de variations et donner le maximum. (3 pts)
Correction
- \(f'(x) = \dfrac1x - 1 = \dfrac{1-x}{x}\) : positive sur \(]0\,;1[\), négative après.
- Maximum \(f(1) = 1\) ; limites \(-\infty\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Exercice 4 (4 pts)
Résoudre \(\ln^2 x - \ln x - 6 = 0\).
Correction
\(X = \ln x\) : \(X^2 - X - 6 = 0\) donne \(X = 3\) ou \(X = -2\). Donc \(x = e^3\) ou \(x = e^{-2}\).