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Sous-espace vectoriel : \(F\subset E\) est un sous-espace si \(\vec0\in F\) et si \(u+\lambda v\in F\) pour tous \(u,v\in F\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\).
| Notion | Définition |
|---|---|
| Combinaison linéaire | \(\lambda_1u_1 + \cdots + \lambda_nu_n\) |
| \(\mathrm{Vect}(u_1\,;\dots)\) | l'ensemble de ces combinaisons |
| Famille génératrice | tout vecteur est une combinaison |
| Famille libre | \(\sum\lambda_iu_i = \vec0 \Rightarrow\) tous les \(\lambda_i\) nuls |
| Base | famille libre et génératrice |
| Dimension | le nombre de vecteurs d'une base |
Critère pratique : dans un espace de dimension \(n\), une famille libre de \(n\) vecteurs est une base (et de même pour une famille génératrice de \(n\) vecteurs).
Deux vecteurs sont liés si et seulement s'ils sont colinéaires.
Application linéaire : \(f(u+\lambda v) = f(u) + \lambda f(v)\). Alors \(f(\vec0) = \vec0\).
Théorème du rang : \(\dim\ker f + \dim\mathrm{Im}\,f = \dim E\) ; \(f\) est injective si et seulement si \(\ker f = \{\vec0\}\).
Ce que je dois savoir faire
- Montrer qu'un ensemble est (ou n'est pas) un sous-espace vectoriel.
- Extraire une base d'un ensemble défini par une équation.
- Tester si une famille est libre par un système.
- Calculer des coordonnées dans une base.
- Déterminer noyau, image et dimension d'une application linéaire.
Les pièges à éviter
- Un ensemble qui ne contient pas \(\vec0\) n'est jamais un sous-espace.
- « Libre » se démontre par un système, pas par une impression.
- Un vecteur répété ou proportionnel ne compte pas dans la dimension.
- Ne pas confondre \(\ker f\) (dans le départ) et \(\mathrm{Im}\,f\) (dans l'arrivée).
Testez-vous en 3 minutes
\(\dim\mathbb{R}^3\) ? \(\left\{(x\,;y)\,;\,x = 2y\right\}\) est-il un sous-espace ? \(\dim\mathrm{Vect}\{(1\,;1)\,;\,(2\,;2)\}\) ? \(f\) injective si \(\ker f = \{\vec0\}\) ?
Réponses
\(3\) ; oui, de dimension \(1\) ; \(1\) ; oui.