Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Soit \(F = \left\{(x\,;y\,;z)\in\mathbb{R}^3\;;\;2x - y + z = 0\right\}\).
- Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\). (3 pts)
- En donner une base et la dimension. (3 pts)
Correction
- \(\vec0\in F\), et la relation \(2x-y+z = 0\) est conservée par somme et par produit par un réel : \(F\) est un sous-espace vectoriel.
- \(y = 2x+z\) donne \((x\,;2x+z\,;z) = x(1\,;2\,;0) + z(0\,;1\,;1)\).
Ces deux vecteurs sont non colinéaires : ils forment une base et \(\dim F = 2\).
Exercice 2 (5 pts)
La famille \(\left((1\,;2)\,;\,(3\,;6)\right)\) est-elle libre dans \(\mathbb{R}^2\) ? Déterminer \(\mathrm{Vect}\) de cette famille.
Correction
\((3\,;6) = 3\times(1\,;2)\) : les vecteurs sont colinéaires, la famille est liée. \(\mathrm{Vect} = \mathrm{Vect}\left\{(1\,;2)\right\}\) : c'est une droite vectorielle, de dimension \(1\).
Exercice 3 (5 pts)
Montrer que \(\left((1\,;1\,;1)\,;\,(0\,;1\,;1)\,;\,(0\,;0\,;1)\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
Correction
\(a(1\,;1\,;1) + b(0\,;1\,;1) + c(0\,;0\,;1) = \vec0\) donne successivement \(a = 0\), puis \(a+b = 0\) donc \(b = 0\), puis \(a+b+c = 0\) donc \(c = 0\). La famille est libre et possède \(3\) vecteurs dans \(\mathbb{R}^3\) : c'est une base.
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(f(x\,;y) = (2x\,;0)\). Montrer que \(f\) est linéaire et déterminer \(\ker f\) et \(\mathrm{Im}\,f\).
Correction
La linéarité se vérifie directement sur les coordonnées. \(f(x\,;y) = (0\,;0)\) donne \(x = 0\) : \(\ker f = \mathrm{Vect}\left\{(0\,;1)\right\}\), de dimension \(1\). \(\mathrm{Im}\,f = \mathrm{Vect}\left\{(1\,;0)\right\}\), de dimension \(1\) ; le théorème du rang est vérifié : \(1 + 1 = 2\).