L'essentiel en une page
Définition. Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a\,;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\).
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Linéarité | \(\int(\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g\) |
| Relation de Chasles | \(\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c\) |
| Inversion | \(\int_b^a f = -\int_a^b f\) |
| Positivité | \(f \ge 0\) sur \([a\,;b] \Rightarrow \int_a^b f \ge 0\) |
| Valeur moyenne | \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\) |
Intégration par parties :
\[\int_a^b u\,v'\,dx = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx\]
Aires : si \(f \ge 0\), l'intégrale est l'aire sous la courbe ; entre deux courbes avec \(f \ge g\), l'aire vaut \(\displaystyle\int_a^b \left(f - g\right)dx\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive.
- Reconnaître les formes \(u'u^n\), \(\frac{u'}{u}\), \(u'e^u\).
- Appliquer l'intégration par parties (avec \(\ln\) ou un polynôme).
- Calculer une aire entre deux courbes.
- Calculer une valeur moyenne.
Les pièges à éviter
- Une intégrale peut être négative ; une aire, non.
- Vérifier le signe de \(f\) avant d'interpréter en aire.
- Pour \(\int \ln x\,dx\), poser \(u = \ln x\) et \(v' = 1\).
- Ne pas oublier les crochets et l'évaluation aux deux bornes.
Testez-vous en 3 minutes
\(\int_0^1 x\,dx\) ? \(\int_1^e \frac{dx}{x}\) ? \(\int_0^{\pi}\sin x\,dx\) ? Aire sous \(y = x^2\) entre \(0\) et \(3\) ?
Réponses
\(\dfrac12\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(9\).