Série 2 — intégrales, aires et intégration par parties.
Exercice 1
Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx\) et \(\displaystyle\int_1^e \frac{dx}{x}\).
Correction
\(\left[x^3 - x^2\right]_0^2 = 8 - 4 = 4\) ; \(\left[\ln x\right]_1^e = 1\).
Exercice 2
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\) et \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx\).
Correction
\(\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{e^2-1}{2}\) ; \(\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,dx\).
Correction
\(\left[\ln(x^2+1)\right]_0^1 = \ln 2\).
Exercice 4
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx\) par intégration par parties.
Correction
\(u = x\), \(v' = e^x\) : \(\left[xe^x\right]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1\).
Exercice 5
Calculer \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx\).
Correction
\(u = \ln x\), \(v' = 1\) : \(\left[x\ln x\right]_1^e - \displaystyle\int_1^e dx = e - (e-1) = 1\).
Exercice 6
Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de \(f(x) = x^2\) et la droite \(y = x\), pour \(x\in[0\,;1]\).
Correction
\(\displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16\) unité d'aire.
Exercice 7
Soit \(F(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{dt}{t}\) pour \(x > 0\). Calculer \(F'(x)\) et identifier \(F\).
Correction
\(F'(x) = \dfrac1x\) et \(F(1) = 0\) : c'est exactement la fonction \(\ln\).