Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer :
- \(\displaystyle\int_0^3 (2x + 1)\,dx\) (2 pts)
- \(\displaystyle\int_0^1 e^{3x}\,dx\) (2 pts)
- \(\displaystyle\int_1^4 \frac{dx}{\sqrt x}\) (2 pts)
Correction
- \(\left[x^2 + x\right]_0^3 = 12\).
- \(\left[\dfrac{e^{3x}}{3}\right]_0^1 = \dfrac{e^3-1}{3}\).
- \(\left[2\sqrt x\right]_1^4 = 4 - 2 = 2\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx\) et \(\displaystyle\int_1^2 \frac{3x^2}{x^3+1}\,dx\).
Correction
\(\left[\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1\) ; \(\left[\ln(x^3+1)\right]_1^2 = \ln 9 - \ln 2 = \ln\dfrac92\).
Exercice 3 (5 pts)
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 (x+1)e^x\,dx\) par intégration par parties.
Correction
\(u = x+1\), \(v' = e^x\) : \(\left[(x+1)e^x\right]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = 2e - 1 - (e-1) = e\).
Exercice 4 (4 pts)
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de \(f(x) = 4 - x^2\) et l'axe des abscisses.
Correction
La courbe coupe l'axe en \(-2\) et \(2\), et \(f \ge 0\) entre : \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3}\) unités d'aire.