Série 2 — démonstrations, aires et constructions.
Exercice 1
\(ABC\) est un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\). Les segments \([AI]\) et \([BJ]\) se coupent en \(G\).
- Que représente \(G\) pour le triangle ?
- Si \(BJ = 9\) cm, calculer \(BG\) et \(GJ\).
Correction
- \(G\) est le centre de gravité (intersection de deux médianes).
- \(BG = \dfrac23\times9 = 6\) cm et \(GJ = 3\) cm.
Exercice 2
Dans un triangle \(ABC\), \(\widehat{A} = 70°\) et \(\widehat{B} = 50°\). Les bissectrices de \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) se coupent en \(I\). Calculer \(\widehat{AIB}\).
Correction
\(\widehat{IAB} = 35°\) et \(\widehat{IBA} = 25°\), donc \(\widehat{AIB} = 180 - 60 = 120°\).
Exercice 3
\(ABC\) est rectangle en \(A\), \(AB = 9\) cm et \(AC = 12\) cm ; on admet \(BC = 15\) cm.
- Calculer l'aire du triangle de deux façons.
- En déduire la hauteur issue de \(A\).
- Donner le rayon du cercle circonscrit.
Correction
- \(\mathcal{A} = \dfrac{9\times12}{2} = 54\ \mathrm{cm}^2\), et aussi \(\dfrac{15\times AH}{2}\).
- \(AH = \dfrac{2\times54}{15} = 7{,}2\) cm.
- \(r = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\) cm.
Exercice 4
Construire un triangle \(ABC\) avec \(BC = 8\) cm, \(\widehat{B} = 50°\) et \(\widehat{C} = 40°\).
- Quelle est la nature de ce triangle ?
- Où se trouve le centre de son cercle circonscrit ?
Correction
- \(\widehat{A} = 180 - 90 = 90°\) : le triangle est rectangle en \(A\).
- Au milieu de \([BC]\).
Exercice 5
Dans un triangle \(ABC\), la médiane \([AI]\) partage le triangle en deux triangles \(ABI\) et \(AIC\). Montrer qu'ils ont la même aire.
Correction
Les deux triangles ont la même hauteur issue de \(A\) (la distance de \(A\) à \((BC)\)) et des bases égales (\(BI = IC\)). Leurs aires sont donc égales.
Exercice 6
\(ABC\) est équilatéral de côté \(6\) cm. Que peut-on dire de son centre de gravité, de son orthocentre, du centre de son cercle circonscrit et de celui de son cercle inscrit ?
Correction
Ils sont tous confondus en un même point, centre de symétrie de la figure.