Exercice 1
Relier chaque droite remarquable au point de concours de ces droites : médiatrices, hauteurs, médianes, bissectrices ; orthocentre, centre de gravité, centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit.
Correction
Médiatrices → centre du cercle circonscrit. Hauteurs → orthocentre. Médianes → centre de gravité. Bissectrices → centre du cercle inscrit.
Exercice 2
Dans le triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([BC]\) et \(G\) le centre de gravité. On donne \(AI = 9\) cm. Calculer \(AG\) et \(GI\).
Correction
\(AG = \frac23\times9 = 6\) cm et \(GI = \frac13\times9 = 3\) cm.
Exercice 3
Dans le triangle \(ABC\), \(G\) est le centre de gravité et \(J\) le milieu de \([AC]\). On sait que \(BG = 8\) cm. Calculer \(GJ\) et \(BJ\).
Correction
\(BG = \frac23 BJ\) donc \(BJ = 8\times\frac32 = 12\) cm et \(GJ = 12 - 8 = 4\) cm.
Exercice 4
\(O\) est le point de concours des médiatrices du triangle \(ABC\) et \(OA = 4\) cm. Calculer \(OB\) et \(OC\). Que représente le cercle de centre \(O\) et de rayon \(4\) cm ?
Correction
\(O\) est équidistant des trois sommets : \(OB = OC = 4\) cm. C'est le cercle circonscrit au triangle \(ABC\) (il passe par \(A\), \(B\) et \(C\)).
Exercice 5
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\). Où se trouve son orthocentre ? Justifier.
Correction
\((AB)\perp(AC)\) : la hauteur issue de \(B\) est \((AB)\) et celle issue de \(C\) est \((AC)\). Elles se coupent en \(A\), donc l'orthocentre est \(A\).
Exercice 6
\(ABC\) est isocèle en \(A\) et \(I\) est le milieu de \([BC]\). Montrer que \((AI)\) est à la fois médiane, hauteur et bissectrice du triangle.
Correction
\((AI)\) passe par \(A\) et le milieu \(I\) de \([BC]\) : c'est la médiane. \(AB = AC\) donc \(A\) est sur la médiatrice de \([BC]\) ; \(I\) aussi, donc \((AI)\) est cette médiatrice : \((AI)\perp(BC)\), c'est la hauteur issue de \(A\). Enfin, \((AI)\) est un axe de symétrie du triangle, qui échange \(B\) et \(C\) : \(\widehat{BAI} = \widehat{CAI}\), c'est la bissectrice.