Série 2 — expressions longues, factorisations à deux étapes et équations produit.
Exercice 1
Développer et réduire \(A = (2x + 3)^2 - (x - 1)^2\).
Correction
\(A = (4x^2 + 12x + 9) - (x^2 - 2x + 1) = 3x^2 + 14x + 8\).
Exercice 2
Factoriser \(B = (x + 2)(3x - 1) + (x + 2)(x + 5)\).
Correction
\(B = (x+2)(3x - 1 + x + 5) = (x+2)(4x + 4) = 4(x+2)(x+1)\).
Exercice 3
Factoriser \(C = (x - 3)^2 - 16\).
Correction
\(C = (x-3)^2 - 4^2 = \big((x-3)+4\big)\big((x-3)-4\big) = (x+1)(x-7)\).
Exercice 4
Factoriser \(D = 4x^2 - 25 + (2x - 5)(x + 1)\).
Correction
\(4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)\), donc \(D = (2x-5)\big((2x+5) + (x+1)\big) = (2x-5)(3x+6) = 3(2x-5)(x+2)\).
Exercice 5
Résoudre : \((3x - 6)(x + 4) = 0\) puis \(x^2 - 9 = 0\).
Correction
\(3x - 6 = 0\) ou \(x + 4 = 0\), donc \(x = 2\) ou \(x = -4\). Puis \(x^2 - 9 = (x+3)(x-3) = 0\) donne \(x = -3\) ou \(x = 3\).
Exercice 6
Soit \(E = (x + 5)^2 - (x + 5)(2x - 1)\).
- Développer et réduire \(E\).
- Factoriser \(E\).
- Calculer \(E\) pour \(x = 3\) avec les deux formes.
Correction
- \(E = x^2 + 10x + 25 - (2x^2 + 9x - 5) = -x^2 + x + 30\).
- \(E = (x+5)\big((x+5) - (2x-1)\big) = (x+5)(6 - x)\).
- Forme factorisée : \(8\times3 = 24\). Forme développée : \(-9 + 3 + 30 = 24\). <span>Les deux coïncident.</span>
Exercice 7
Un carré de côté \(x\) est agrandi de \(3\) cm sur chaque côté.
- Exprimer l'aire du nouveau carré sous forme développée.
- De combien l'aire a-t-elle augmenté ?
Correction
- \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\).
- L'augmentation est \(6x + 9\) cm².