Série 2 — Pythagore dans les solides, aires totales et problèmes.
Exercice 1
Un cône a un rayon de \(9\) cm et une génératrice de \(15\) cm.
- Calculer sa hauteur.
- Calculer son volume.
- Calculer son aire totale.
Correction
- \(h^2 = 225 - 81 = 144\), donc \(h = 12\) cm.
- \(V = \dfrac{\pi\times81\times12}{3} = 324\pi\approx1\,017{,}4\ \mathrm{cm}^3\).
- \(\mathcal{A} = \pi\times9\times15 + \pi\times81 = 216\pi\approx678{,}2\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 2
Une pyramide régulière à base carrée a une base de côté \(8\) cm et une hauteur de \(3\) cm.
- Calculer son volume.
- Calculer la hauteur d'une face latérale (l'apothème), sachant qu'elle forme un triangle rectangle avec la hauteur et la moitié du côté.
Correction
- \(V = \dfrac{64\times3}{3} = 64\ \mathrm{cm}^3\).
- \(a^2 = 3^2 + 4^2 = 25\), donc \(a = 5\) cm.
Exercice 3
Un cône a un volume de \(100\pi\ \mathrm{cm}^3\) et une hauteur de \(12\) cm. Calculer son rayon.
Correction
\(\dfrac{\pi r^2\times12}{3} = 100\pi\), donc \(4r^2 = 100\), \(r^2 = 25\) et \(r = 5\) cm.
Exercice 4
Une pyramide a un volume de \(90\ \mathrm{cm}^3\) et une base d'aire \(30\ \mathrm{cm}^2\). Calculer sa hauteur.
Correction
\(\dfrac{30\times h}{3} = 90\), donc \(10h = 90\) et \(h = 9\) cm.
Exercice 5
Un verre conique a un rayon de \(4\) cm et une hauteur de \(9\) cm.
- Calculer son volume en \(\mathrm{cm}^3\).
- Le convertir en millilitres.
Correction
- \(V = \dfrac{\pi\times16\times9}{3} = 48\pi\approx150{,}7\ \mathrm{cm}^3\).
- Environ \(151\) mL.
Exercice 6
On double le rayon d'un cône en gardant la même hauteur.
- Par combien son volume est-il multiplié ?
- Même question si l'on double la hauteur en gardant le rayon.
Correction
- Par \(4\) (le volume dépend de \(r^2\)).
- Par \(2\).
Exercice 7
La pyramide de Khéops a une base carrée de \(230\) m de côté et une hauteur d'environ \(137\) m. Calculer son volume approché.
Correction
\(V = \dfrac{230^2\times137}{3} = \dfrac{52\,900\times137}{3}\approx2\,415\,000\ \mathrm{m}^3\).