L'essentiel en une page
Définition. La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) associe à \(M \ne O\) le point \(M'\) tel que \(OM' = OM\) et \(\widehat{(\vec{OM}\,;\vec{OM'})} = \theta\).
| Écriture en coordonnées (centre \(O\)) | Formule |
|---|---|
| Cas général | \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\) |
| \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\) | |
| \(\theta = \frac{\pi}{2}\) | \((x\,;y)\mapsto(-y\,;x)\) |
| \(\theta = \pi\) | \((x\,;y)\mapsto(-x\,;-y)\) |
Centre quelconque \(I\) : on se ramène aux vecteurs \(\vec{IM}\), on applique la formule, puis on revient à \(M'\).
| Propriété | Résultat |
|---|---|
| Nature | isométrie directe |
| Conservations | longueurs, angles, aires, alignement, milieux |
| Point invariant | le centre uniquement |
| Composition (même centre) | angles ajoutés |
| Réciproque | rotation d'angle \(-\theta\) |
Polygone régulier à \(n\) côtés : la rotation d'angle \(\dfrac{2\pi}{n}\) de centre \(O\) permute les sommets.
Ce que je dois savoir faire
- Appliquer les formules de rotation en coordonnées.
- Traiter un centre différent de l'origine.
- Déterminer la nature d'une composée.
- Reconnaître les rotations d'un polygone régulier.
- Utiliser une rotation pour démontrer une égalité de longueurs.
Les pièges à éviter
- L'orientation compte : \(\theta\) et \(-\theta\) donnent des images différentes.
- Les formules en coordonnées sont valables pour un centre en \(O\) : sinon, passer par les vecteurs.
- Une rotation n'est pas une homothétie : elle ne change pas les longueurs.
- Composer deux rotations de centres différents ne donne pas forcément une rotation de même centre.
Testez-vous en 3 minutes
Image de \((1\,;2)\) par la rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) de centre \(O\) ? D'angle \(\pi\) ? Réciproque d'une rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\) ? Angle élémentaire d'un pentagone régulier ?
Réponses
\((-2\,;1)\) ; \((-1\,;-2)\) ; rotation d'angle \(-\dfrac{\pi}{4}\) ; \(\dfrac{2\pi}{5}\).