Durée : 1 heure. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
- Donner les formules de la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) en coordonnées. (2 pts)
- Appliquer avec \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) au point \(A(3\,;-2)\). (3 pts)
Correction
- \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\) et \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\).
- \(A'(2\,;3)\).
Exercice 2 (5 pts)
\(R\) est la rotation de centre \(I(2\,;-1)\) et d'angle \(\pi\).
- Déterminer l'image de \(B(5\,;3)\). (3 pts)
- Quelle est la nature de \(R\) ? (2 pts)
Correction
- \(B'(2\times2 - 5\,;2\times(-1) - 3) = (-1\,;-5)\).
- C'est la symétrie centrale de centre \(I\).
Exercice 3 (5 pts)
\(ABCDEF\) est un hexagone régulier direct de centre \(O\).
- Quelle rotation de centre \(O\) envoie \(A\) sur \(B\) ? (2 pts)
- Quelle est l'image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\pi\) ? (3 pts)
Correction
- La rotation d'angle \(\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\).
- \(\pi = 3\times\dfrac{\pi}{3}\) : l'image est le sommet situé trois crans plus loin, c'est-à-dire \(D\) (le sommet diamétralement opposé).
Exercice 4 (5 pts)
\(R_1\) est la rotation de centre \(O\) d'angle \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(R_2\) celle d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
- Déterminer la nature de \(R_2\circ R_1\). (3 pts)
- Combien de fois faut-il composer \(R_1\) avec elle-même pour obtenir l'identité ? (2 pts)
Correction
- Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}\).
- Il faut \(12\) fois, car \(12\times\dfrac{\pi}{6} = 2\pi\).