Série 2 — images, compositions et démonstrations par rotation.
Exercice 1
Déterminer l'image de \(M(x\,;y)\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\), en coordonnées.
Correction
\(M'\big(x\cos\theta - y\sin\theta\;;\;x\sin\theta + y\cos\theta\big)\). Pour \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\), on retrouve \((-y\,;x)\).
Exercice 2
Déterminer l'image de \(A(2\,;1)\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
Correction
\(x' = 2\times\dfrac12 - 1\times\dfrac{\sqrt3}{2} = 1 - \dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(y' = 2\times\dfrac{\sqrt3}{2} + 1\times\dfrac12 = \sqrt3 + \dfrac12\).
Exercice 3
\(R\) est la rotation de centre \(I(1\,;2)\) et d'angle \(\pi\). Déterminer l'image de \(A(4\,;-1)\).
Correction
L'angle \(\pi\) donne la symétrie centrale de centre \(I\) : \(A'(2\times1 - 4\,;2\times2 + 1) = (-2\,;5)\).
Exercice 4
Quelle est la nature de la composée d'une rotation d'angle \(\alpha\) et d'une rotation d'angle \(-\alpha\), de même centre ?
Correction
C'est la rotation d'angle \(0\), c'est-à-dire l'identité : les deux rotations sont réciproques l'une de l'autre.
Exercice 5
\(ABC\) est un triangle équilatéral direct de centre \(O\). Déterminer les images de \(A\), \(B\), \(C\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{4\pi}{3}\).
Correction
L'angle \(\dfrac{4\pi}{3} = 2\times\dfrac{2\pi}{3}\) : c'est la rotation élémentaire appliquée deux fois. Donc \(A\mapsto C\), \(B\mapsto A\), \(C\mapsto B\).
Exercice 6
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\) et \(R\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Déterminer l'image de \(B\) et celle de la droite \((BC)\).
Correction
\(R(B) = D\) (le quart de tour autour de \(A\) envoie \(B\) sur \(D\) dans le sens direct). L'image de \((BC)\) est la droite passant par \(D\) et perpendiculaire à \((BC)\), soit la droite \((DC)\).
Exercice 7
Sur les côtés \([AB]\) et \([AC]\) d'un triangle, on construit extérieurement les carrés \(ABDE\) et \(ACFG\). Montrer que \(BG = CE\).
Correction
La rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) (bien orientée) envoie \(E\) sur \(B\) et \(C\) sur \(G\). Elle conserve les distances, donc \(EC = BG\).