L'essentiel en une page
| Connecteur | Vraie si… |
|---|---|
| \(\overline{P}\) | \(P\) est fausse |
| \(P\) et \(Q\) | les deux le sont |
| \(P\) ou \(Q\) | au moins une l'est |
| \(P \Rightarrow Q\) | fausse seulement si \(P\) vraie, \(Q\) fausse |
| \(P \Leftrightarrow Q\) | mêmes valeurs de vérité |
Équivalences : \(P \Rightarrow Q\) s'écrit aussi \(\overline{P}\) ou \(Q\), et sa contraposée est \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\).
Négation : \(\overline{P \Rightarrow Q}\) est « \(P\) et \(\overline{Q}\) ». · De Morgan : \(\overline{P \text{ et } Q} = \overline{P}\) ou \(\overline{Q}\).
| Raisonnement | Usage |
|---|---|
| Contraposée | hypothèse difficile à exploiter |
| Absurde | prouver une impossibilité |
| Contre-exemple | réfuter un « pour tout » |
| Récurrence | propriété portant sur tout \(n\) |
Ce que je dois savoir faire
- Écrire la négation d'une proposition quantifiée.
- Construire et lire une table de vérité.
- Rédiger une contraposée, un raisonnement par l'absurde, une récurrence.
- Réfuter une affirmation par un contre-exemple.
Les pièges à éviter
- La négation de « pour tout » est « il existe », pas « pour aucun ».
- Un exemple ne prouve pas un « pour tout ».
- La négation d'une implication n'est pas une implication.
- Dans une récurrence, l'initialisation est obligatoire.
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Négation de \((\forall x)(x > 1)\) ? Contraposée de « pluie \(\Rightarrow\) sol mouillé » ? \(P \Rightarrow Q\) s'écrit aussi… ?
Réponses
\((\exists x)(x \le 1)\) ; « sol non mouillé \(\Rightarrow\) pas de pluie » ; \(\overline P\) ou \(Q\).