Série 2 — quantificateurs, raisonnements et contre-exemples.
Exercice 1
Écrire la négation de chacune des propositions suivantes.
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^2 + 1 > 0)\)
- \((\exists x\in\mathbb{R})\;(2x + 1 = 0)\)
- \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\;(x + y > 0)\)
Correction
- \((\exists x\in\mathbb{R})\;(x^2 + 1 \le 0)\).
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(2x + 1 \ne 0)\).
- \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\;(x + y \le 0)\).
Exercice 2
Dresser la table de vérité de \(\overline{P}\) ou \(Q\) et la comparer à celle de \(P \Rightarrow Q\).
Correction
| \(P\) | \(Q\) | \(\overline{P}\) ou \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | F |
| F | V | V | V |
| F | F | V | V |
Les deux colonnes sont identiques : les propositions sont équivalentes.
Exercice 3
Montrer par contraposée que, si \(3n + 2\) est impair, alors \(n\) est impair.
Correction
Contraposée : si \(n\) est pair, alors \(3n + 2\) est pair. Si \(n = 2k\), alors \(3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k+1)\), qui est pair. La contraposée est vraie.
Exercice 4
La proposition « pour tout réel \(x\), \(\dfrac1x\) existe » est-elle vraie ? Justifier.
Correction
Non : pour \(x = 0\), l'expression n'est pas définie. Un contre-exemple suffit à réfuter la proposition.
Exercice 5
Montrer par l'absurde que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle.
Correction
Soient \(r\in\mathbb{Q}\) et \(x\) irrationnel. Si \(r + x\) était rationnel, alors \(x = (r+x) - r\) serait une différence de deux rationnels, donc rationnel : contradiction.
Exercice 6
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(3^n \ge 2n + 1\).
Correction
Initialisation. \(n = 0\) : \(1 \ge 1\) ✓. Hérédité. Si \(3^n \ge 2n+1\), alors \(3^{n+1} = 3\times3^n \ge 6n + 3 \ge 2n + 3 = 2(n+1) + 1\). Conclusion. L'inégalité est vraie pour tout \(n\).
Exercice 7
Un commerçant affirme : « tous mes produits coûtent moins de \(100\) dh ». Comment réfuter cette affirmation ? Comment la prouver ?
Correction
Pour la réfuter, il suffit d'exhiber un seul produit à \(100\) dh ou plus (contre-exemple). Pour la prouver, il faut vérifier tous les produits, un par un.