Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Écrire la négation de :
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^2 \ge 0)\) (2 pts)
- \((\exists n\in\mathbb{N})\;(n^2 = 10)\) (1{,}5 pt)
- \((\forall x > 0)\;\left(\dfrac1x < 1\right)\) (1{,}5 pt)
Correction
- \((\exists x\in\mathbb{R})\;(x^2 < 0)\).
- \((\forall n\in\mathbb{N})\;(n^2 \ne 10)\).
- \((\exists x > 0)\;\left(\dfrac1x \ge 1\right)\).
Exercice 2 (5 pts)
- Dresser la table de vérité de \(P\) et \((\overline{P}\) ou \(Q)\). (3 pts)
- Comparer avec \(P\) et \(Q\). (2 pts)
Correction
1.
| \(P\) | \(Q\) | \(\overline{P}\) ou \(Q\) | \(P\) et \((\overline{P}\) ou \(Q)\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | F |
| F | V | V | F |
| F | F | V | F |
- La dernière colonne est celle de « \(P\) et \(Q\) » : les deux propositions sont équivalentes.
Exercice 3 (5 pts)
Montrer par contraposée que, si \(n^2 + 1\) est pair, alors \(n\) est impair.
Correction
Contraposée : si \(n\) est pair, alors \(n^2 + 1\) est impair. \(n = 2k\) donne \(n^2 + 1 = 4k^2 + 1\), impair. La contraposée est vraie, donc l'énoncé aussi.
Exercice 4 (5 pts)
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2\).
Correction
Initialisation. \(n = 1\) : \(1 = 1^2\) ✓. Hérédité. \(n^2 + (2n+1) = (n+1)^2\) : la formule est vraie au rang suivant. Conclusion. Elle est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).