L'essentiel en une page
| Forme indéterminée | Technique |
|---|---|
| \(\frac{\infty}{\infty}\) | factoriser par le terme dominant |
| \(\frac00\) | factoriser (identités, racine évidente) |
| \(\infty - \infty\) | conjugué |
| \(0\times\infty\) | réécrire en quotient |
Identités utiles : \(x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)\) et \(\sqrt x - \sqrt a = \dfrac{x - a}{\sqrt x + \sqrt a}\).
Attention au signe : en \(-\infty\), \(\sqrt{x^2} = -x\).
| Limite de référence | Valeur |
|---|---|
| \(\dfrac{\sin x}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
| \(\dfrac{\tan x}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
| \(\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) en \(0\) | \(\dfrac12\) |
Théorème des gendarmes : si \(g \le f \le h\) et si \(g\) et \(h\) ont la même limite \(\ell\), alors \(f\) aussi.
Asymptote oblique : effectuer la division euclidienne, \(f(x) = ax + b + \varepsilon(x)\) avec \(\varepsilon(x)\to0\).
Ce que je dois savoir faire
- Lever les quatre formes indéterminées.
- Utiliser le conjugué pour une racine.
- Appliquer les limites trigonométriques en ramenant au bon argument.
- Encadrer pour conclure avec les gendarmes.
- Déterminer toutes les asymptotes.
Les pièges à éviter
- \(\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert\) : le signe change en \(-\infty\).
- \(\dfrac k0\) n'est pas indéterminée : étudier le signe.
- Pour \(\dfrac{\sin(ax)}{bx}\), faire apparaître \(\dfrac{\sin(ax)}{ax}\).
- Les gendarmes exigent la même limite pour les deux bornes.
Testez-vous en 3 minutes
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\) ? Et en \(-\infty\) ? \(\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{5x}\) ? \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\) ?
Réponses
\(1\) ; \(-1\) ; \(\dfrac25\) ; \(2\).