Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3 - x}{2x^3 + 5}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3 - 8}{x - 2}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{2x}\) (2 pts)
Correction
- \(\dfrac32\).
- \(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\), donc la limite vaut \(12\).
- \(\dfrac{\sin 4x}{2x} = 2\times\dfrac{\sin 4x}{4x} \to 2\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt x - 2}{x - 4}\).
Correction
On multiplie par le conjugué : \(\dfrac{x - 4}{(x-4)(\sqrt x + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt x + 2} \to \dfrac14\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}\).
- Simplifier \(f(x)\) pour \(x \ne 1\). (3 pts)
- En déduire la limite en \(1\) et la nature de la courbe. (2 pts)
Correction
- \(x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)\), donc \(f(x) = x + 3\) pour \(x \ne 1\).
- La limite en \(1\) vaut \(4\) : la courbe est la droite \(y = x+3\) privée du point d'abscisse \(1\).
Exercice 4 (4 pts)
Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x^2} = 0\) en utilisant un encadrement.
Correction
Pour \(x > 0\) : \(-\dfrac1{x^2} \le \dfrac{\cos x}{x^2} \le \dfrac1{x^2}\), et les deux bornes tendent vers \(0\). D'après le théorème des gendarmes, la limite vaut \(0\).