Série 2 — formes indéterminées, asymptotes et limites de fonctions composées.
Exercice 1
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 7}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^3 + x}{x^2 - 1}\).
Correction
On factorise par le terme de plus haut degré : la première limite vaut \(\dfrac32\). La seconde se comporte comme \(\dfrac{4x^3}{x^2} = 4x\), donc elle vaut \(-\infty\).
Exercice 2
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}\).
Correction
Forme \(\dfrac00\) : \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3\), dont la limite est \(6\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}\).
Correction
\(\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-1}{x+2}\), dont la limite en \(2\) vaut \(\dfrac14\).
Exercice 4
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)\).
Correction
Forme \(\infty - \infty\) : on multiplie par la quantité conjuguée. \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac1x} + 1}\), dont la limite vaut \(\dfrac12\).
Exercice 5
Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\).
- Calculer les limites en \(3^-\) et \(3^+\).
- Calculer la limite en \(\pm\infty\).
- En déduire les asymptotes.
Correction
- En \(3^-\) : \(-\infty\) ; en \(3^+\) : \(+\infty\).
- La limite vaut \(2\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
- Asymptote verticale \(x = 3\) et asymptote horizontale \(y = 2\).
Exercice 6
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\).
Correction
\(\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\times\dfrac{\sin 3x}{3x}\) ; comme \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1\), la limite vaut \(3\).
Exercice 7
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3x - 1}{x + 1}\). Montrer que la droite \(y = x + 2\) est asymptote oblique en \(+\infty\).
Correction
La division donne \(f(x) = x + 2 - \dfrac{3}{x+1}\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x+1} = 0\), donc \(f(x) - (x+2) \to 0\) : la droite est bien asymptote oblique.