L'essentiel en une page
| Objet | Formule (repère de l'espace) |
|---|---|
| \(\vec{AB}\) | \((x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A)\) |
| Norme (orthonormé) | \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) |
| Milieu de \([AB]\) | \(\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\frac{y_A+y_B}{2}\,;\frac{z_A+z_B}{2}\right)\) |
| Droite \((A\,;\vec u)\) | \(x = x_A + \alpha t\), \(y = y_A + \beta t\), \(z = z_A + \gamma t\) |
Colinéarité : \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe \(k\) tel que \(\vec v = k\vec u\) (coordonnées proportionnelles).
Alignement : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
Coplanarité : \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) sont coplanaires s'il existe \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w = a\vec u + b\vec v\) (système à résoudre, puis vérification).
Base de l'espace : trois vecteurs non coplanaires ; tout vecteur s'écrit alors de façon unique comme combinaison linéaire.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer coordonnées, norme et milieu dans l'espace.
- Montrer un alignement et une colinéarité.
- Étudier la coplanarité de trois vecteurs par un système.
- Écrire une représentation paramétrique d'une droite.
- Travailler dans un repère lié à un cube.
Les pièges à éviter
- Trois coordonnées : ne pas en oublier une dans les calculs.
- Pour la coplanarité, le système a trois équations et deux inconnues : il faut vérifier la troisième.
- Un système incompatible signifie que les vecteurs ne sont pas coplanaires.
- La norme n'a de sens qu'en repère orthonormé.
Testez-vous en 3 minutes
\(\vec{AB}\) pour \(A(1\,;2\,;3)\) et \(B(4\,;0\,;1)\) ? Sa norme ? Milieu de \([AB]\) ? \(\vec u(1\,;2\,;3)\) et \(\vec v(2\,;4\,;6)\) sont-ils colinéaires ?
Réponses
\((3\,;-2\,;-2)\) ; \(\sqrt{17}\) ; \((2{,}5\,;1\,;2)\) ; oui, \(\vec v = 2\vec u\).