Durée : 1 heure. Barème sur 20. L'espace est muni d'un repère.
Exercice 1 (5 pts)
\(A(2\,;1\,;-1)\) et \(B(5\,;3\,;3)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\). (2 pts)
- Calculer \(AB\) et les coordonnées du milieu de \([AB]\). (3 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(3\,;2\,;4)\).
- \(AB = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}\) ; milieu \(I(3{,}5\,;2\,;1)\).
Exercice 2 (5 pts)
\(A(0\,;1\,;2)\), \(B(2\,;3\,;4)\) et \(C(5\,;6\,;7)\). Les points sont-ils alignés ? Justifier.
Correction
\(\vec{AB}(2\,;2\,;2)\) et \(\vec{AC}(5\,;5\,;5)\) : \(\vec{AC} = \dfrac52\vec{AB}\), les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés.
Exercice 3 (5 pts)
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) avec \(A(1\,;-1\,;2)\) et \(B(3\,;0\,;5)\).
Correction
\(\vec{AB}(2\,;1\,;3)\) : \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 + 3t \end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).
Exercice 4 (5 pts)
\(\vec u(1\,;1\,;0)\), \(\vec v(0\,;1\,;1)\) et \(\vec w(2\,;3\,;1)\).
- Déterminer \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w = a\vec u + b\vec v\), s'ils existent. (3 pts)
- Conclure sur la coplanarité des trois vecteurs. (2 pts)
Correction
- \(a = 2\) (première coordonnée), \(b = 1\) (troisième) ; vérification sur la deuxième : \(2 + 1 = 3\) ✓.
- \(\vec w\) est combinaison linéaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) : les trois vecteurs sont coplanaires.