Série 2 — vecteurs de l'espace, coplanarité et géométrie analytique.
Exercice 1
Dans un repère de l'espace, \(A(1\,;0\,;2)\) et \(B(4\,;-2\,;5)\). Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et sa norme.
Correction
\(\vec{AB}(3\,;-2\,;3)\) et \(\lVert\vec{AB}\rVert = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}\).
Exercice 2
\(\vec u(1\,;2\,;-1)\), \(\vec v(2\,;-1\,;3)\) et \(\vec w(4\,;3\,;1)\). Les trois vecteurs sont-ils coplanaires ?
Correction
On cherche \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w = a\vec u + b\vec v\) : \(a + 2b = 4\), \(2a - b = 3\), \(-a + 3b = 1\). Des deux premières : \(a = 2\) et \(b = 1\) ; la troisième donne \(-2 + 3 = 1\) ✓. Les vecteurs sont donc coplanaires.
Exercice 3
Calculer les coordonnées du milieu de \([AB]\) avec \(A(2\,;-1\,;4)\) et \(B(0\,;3\,;-2)\).
Correction
\(I(1\,;1\,;1)\).
Exercice 4
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1\,;2\,;0)\) et de vecteur directeur \(\vec u(2\,;-1\,;3)\).
Correction
\(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\).
Exercice 5
Les points \(A(1\,;1\,;1)\), \(B(3\,;2\,;0)\) et \(C(5\,;3\,;-1)\) sont-ils alignés ?
Correction
\(\vec{AB}(2\,;1\,;-1)\) et \(\vec{AC}(4\,;2\,;-2) = 2\vec{AB}\) : les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés.
Exercice 6
\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête \(a\). Calculer \(\lVert\vec{AG}\rVert\) en utilisant les coordonnées dans le repère \((A\,;\vec{AB}\,;\vec{AD}\,;\vec{AE})\).
Correction
Dans ce repère, \(G\) a pour coordonnées \((1\,;1\,;1)\) en unités d'arête, donc \(AG = a\sqrt{1+1+1} = a\sqrt3\).
Exercice 7
Montrer que \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;2\,;0)\), \(C(0\,;0\,;3)\) et \(D(-1\,;2\,;3)\) sont coplanaires.
Correction
\(\vec{AB}(-1\,;2\,;0)\), \(\vec{AC}(-1\,;0\,;3)\) et \(\vec{AD}(-2\,;2\,;3)\). On cherche \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{AD} = a\vec{AB} + b\vec{AC}\) : la deuxième coordonnée donne \(2a = 2\), soit \(a = 1\) ; la troisième donne \(3b = 3\), soit \(b = 1\). Vérification sur la première : \(-1 - 1 = -2\) ✓. Donc \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}\) : les quatre points sont coplanaires.