Série 2 — domaines, variations, extremums et composition.
Exercice 1
Déterminer le domaine de définition de :
- \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x - 3}\)
- \(g(x) = \sqrt{x^2 - 9}\)
Correction
- \(x + 2 \ge 0\) et \(x \ne 3\) : \(D_f = [-2\,;3[\;\cup\;]3\,;+\infty[\).
- \(x^2 - 9 \ge 0\) : \(D_g = ]-\infty\,;-3]\cup[3\,;+\infty[\).
Exercice 2
Étudier les variations de \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\) sur \(]2\,;+\infty[\) à l'aide du taux de variation.
Correction
Pour \(2 < a < b\) : \(f(b) - f(a) = \dfrac{(a-2)-(b-2)}{(b-2)(a-2)} = \dfrac{a-b}{(a-2)(b-2)}\). Donc \(T = \dfrac{-1}{(a-2)(b-2)} < 0\) : la fonction est strictement décroissante.
Exercice 3
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 7\).
- Écrire \(f\) sous forme canonique.
- Dresser le tableau de variations et donner l'extremum.
Correction
- \(f(x) = (x-2)^2 + 3\).
- \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;2]\) puis croît sur \([2\,;+\infty[\) ; minimum \(3\) en \(x = 2\).
Exercice 4
Étudier la parité de \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) et de \(g(x) = \dfrac{x^2}{\lvert x\rvert + 1}\).
Correction
\(f(-x) = \dfrac{-x}{x^2+1} = -f(x)\) : impaire. \(g(-x) = \dfrac{x^2}{\lvert x\rvert+1} = g(x)\) : paire.
Exercice 5
Soient \(f(x) = x^2 + 1\) et \(g(x) = 2x - 3\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\), puis comparer.
Correction
\((g\circ f)(x) = 2(x^2+1) - 3 = 2x^2 - 1\). \((f\circ g)(x) = (2x-3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 10\). Les deux composées sont différentes : la composition n'est pas commutative.
Exercice 6
Montrer que \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x+3}\) est croissante sur \(]-3\,;+\infty[\).
Correction
\(f(x) = \dfrac{2(x+3) - 5}{x+3} = 2 - \dfrac{5}{x+3}\). Sur \(]-3\,;+\infty[\), la fonction \(x\mapsto\dfrac{5}{x+3}\) est décroissante et positive ; son opposée est croissante, donc \(f\) est croissante.
Exercice 7
Soit \(f\) définie sur \([-2\,;5]\), décroissante sur \([-2\,;1]\) de \(7\) à \(-3\), puis croissante sur \([1\,;5]\) de \(-3\) à \(4\).
- Donner les extremums de \(f\).
- Discuter, selon \(m\), le nombre de solutions de \(f(x) = m\).
Correction
- Maximum \(7\) en \(x = -2\) ; minimum \(-3\) en \(x = 1\).
- \(m < -3\) ou \(m > 7\) : aucune solution ; \(m = -3\) : une ; \(-3 < m \le 4\) : deux ; \(4 < m \le 7\) : une.