Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Déterminer le domaine de définition de :
- \(f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - 4}\) (2{,}5 pts)
- \(g(x) = \sqrt{6 - 2x}\) (2{,}5 pts)
Correction
- \(x^2 - 4 \ne 0\) : \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}\).
- \(6 - 2x \ge 0\) : \(D_g = ]-\infty\,;3]\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\).
- Écrire \(f\) sous forme canonique. (2 pts)
- Donner le tableau de variations et l'extremum. (3 pts)
Correction
- \(f(x) = -(x-2)^2 + 5\).
- \(f\) croît sur \(]-\infty\,;2]\) puis décroît ; maximum \(5\) en \(x = 2\).
Exercice 3 (5 pts)
Étudier la parité de :
- \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) (2{,}5 pts)
- \(g(x) = \dfrac{x^3}{x^2+2}\) (2{,}5 pts)
Correction
- \(f(-x) = f(x)\) : paire.
- \(g(-x) = -g(x)\) : impaire.
Exercice 4 (5 pts)
Soient \(f(x) = 3x - 1\) et \(g(x) = x^2\).
- Calculer \((f\circ g)(x)\) et \((g\circ f)(x)\). (3 pts)
- Résoudre \((f\circ g)(x) = (g\circ f)(x)\). (2 pts)
Correction
- \((f\circ g)(x) = 3x^2 - 1\) et \((g\circ f)(x) = (3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1\).
- \(3x^2 - 1 = 9x^2 - 6x + 1\) donne \(6x^2 - 6x + 2 = 0\), soit \(3x^2 - 3x + 1 = 0\) avec \(\Delta = 9 - 12 < 0\) : aucune solution.