L'essentiel en une page
| Étape | Contenu |
|---|---|
| Domaine | conditions d'existence |
| Symétries | parité, périodicité |
| Limites | toutes les bornes ouvertes |
| Dérivée | calcul puis signe |
| Tableau | variations et extremums |
| Branches infinies | asymptotes et directions |
| Courbe | tangentes, points particuliers |
Asymptote oblique : \(f(x) = ax + b + \varepsilon(x)\) avec \(\varepsilon(x)\to0\) ; le signe de \(\varepsilon\) donne la position de la courbe.
Concavité : \(f'' > 0\) convexe, \(f'' < 0\) concave ; un point d'inflexion est un point où \(f''\) s'annule en changeant de signe.
TVI : \(f\) continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\) avec \(f(a)f(b) < 0\) donne une solution unique.
Nombre de solutions de \(f(x) = m\) : se lit sur le tableau de variations, branche par branche.
Ce que je dois savoir faire
- Mener une étude complète dans l'ordre et sans oubli.
- Déterminer toutes les branches infinies et la position relative à l'asymptote.
- Étudier la concavité et trouver les points d'inflexion.
- Justifier existence et unicité d'une racine, puis l'encadrer.
- Discuter le nombre de solutions de \(f(x) = m\).
Les pièges à éviter
- Une dérivée qui s'annule sans changer de signe ne donne pas d'extremum.
- Une fonction impaire s'étudie sur \([0\,;+\infty[\) puis se complète par symétrie centrale.
- L'asymptote oblique n'existe que si le degré du numérateur dépasse de \(1\) celui du dénominateur.
- Toujours préciser l'intervalle sur lequel la monotonie est utilisée dans le TVI.
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Asymptote oblique de \(\frac{x^2+1}{x}\) ? Nature de \((1\,;1)\) pour \(x^3-3x^2+3x\) ? Extremums de \(\frac{x}{x^2+1}\) ? Combien de racines pour \(x^3-3x+1\) ?
Réponses
\(y = x\) ; point d'inflexion ; \(\pm\dfrac12\) ; trois.