Série 2 — études complètes, branches infinies et points d'inflexion.
Exercice 1
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 3}\).
- Déterminer \(D_f\) et les limites aux bornes.
- Montrer que la droite \(y = x\) est asymptote oblique.
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{3\}\) ; en \(3^-\) : \(-\infty\) ; en \(3^+\) : \(+\infty\) ; \(\pm\infty\) en \(\pm\infty\).
- La division donne \(f(x) = x + \dfrac{2}{x-3}\), et \(\dfrac{2}{x-3}\to0\) : la droite \(y = x\) est asymptote oblique.
Exercice 2
Pour la fonction précédente, calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
Correction
\(f'(x) = 1 - \dfrac{2}{(x-3)^2} = \dfrac{(x-3)^2 - 2}{(x-3)^2}\). Le numérateur s'annule pour \(x = 3 \pm \sqrt2\) : \(f'\) est positive à l'extérieur de \(\left[3-\sqrt2\,;3+\sqrt2\right]\) et négative à l'intérieur (hors de \(x = 3\)).
Exercice 3
Soit \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x\). Montrer que \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et que \((1\,;1)\) est un point d'inflexion.
Correction
\(g'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2 \ge 0\) : \(g\) est croissante (avec une tangente horizontale en \(1\)). \(g''(x) = 6x - 6\) s'annule en \(1\) en changeant de signe : le point \((1\,;1)\) est un point d'inflexion.
Exercice 4
Étudier la position de la courbe de \(f(x) = x^3\) par rapport à sa tangente au point d'abscisse \(0\).
Correction
La tangente est l'axe des abscisses (\(y = 0\)). Or \(x^3 \ge 0\) pour \(x \ge 0\) et \(\le 0\) pour \(x \le 0\) : la courbe traverse la tangente en \(O\), qui est donc un point d'inflexion.
Exercice 5
Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\).
- Déterminer \(D_f\).
- Étudier la parité et les variations sur \([2\,;+\infty[\).
Correction
- \(x^2 - 4 \ge 0\) : \(D_f = ]-\infty\,;-2]\cup[2\,;+\infty[\).
- \(f(-x) = f(x)\) : la fonction est paire. Sur \(]2\,;+\infty[\), \(f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}} > 0\) : elle est croissante.
Exercice 6
Montrer que l'équation \(x^3 - 3x + 1 = 0\) admet trois solutions réelles.
Correction
\(f'(x) = 3x^2 - 3\) s'annule en \(\pm1\) ; \(f(-1) = 3 > 0\) et \(f(1) = -1 < 0\). La fonction croît de \(-\infty\) à \(3\), décroît de \(3\) à \(-1\), puis croît de \(-1\) à \(+\infty\) : elle traverse l'axe trois fois.
Exercice 7
Soit \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\). Étudier les variations de \(f\) et déterminer ses extremums.
Correction
\(f'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\times2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}\). \(f'\) est négative hors de \([-1\,;1]\), positive à l'intérieur : minimum \(f(-1) = -\dfrac12\) et maximum \(f(1) = \dfrac12\).