Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}\).
- Déterminer \(D_f\) et étudier la parité. (2 pts)
- Calculer les limites aux bornes et donner les asymptotes. (3 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations. (3 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}^*\) ; \(f(-x) = -f(x)\) : la fonction est impaire.
- En \(0^-\) : \(-\infty\) ; en \(0^+\) : \(+\infty\) (asymptote verticale \(x = 0\)). \(f(x) - x = \dfrac1x \to 0\) : asymptote oblique \(y = x\).
- \(f'(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2}\) : sur \(]0\,;+\infty[\), minimum \(f(1) = 2\) ; sur \(]-\infty\,;0[\), maximum \(f(-1) = -2\).
Exercice 2 (6 pts)
Soit \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).
- Calculer \(g'(x)\) et étudier son signe. (3 pts)
- Déterminer les extremums locaux. (3 pts)
Correction
- \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\) : positive hors de \([1\,;3]\), négative entre.
- Maximum local \(g(1) = 4\) ; minimum local \(g(3) = 0\).
Exercice 3 (6 pts)
Montrer que l'équation \(x^3 + 2x - 5 = 0\) admet une unique solution réelle \(\alpha\), puis donner un encadrement d'amplitude \(0{,}5\).
Correction
\(f'(x) = 3x^2 + 2 > 0\) : la fonction est strictement croissante et continue sur \(\mathbb{R}\). \(f(1) = -2 < 0\) et \(f(2) = 7 > 0\) : il existe une unique solution dans \(]1\,;2[\). \(f(1{,}5) = 3{,}375 + 3 - 5 = 1{,}375 > 0\), donc \(\alpha\in\,]1\,;1{,}5[\).