L'essentiel en une page
| Opération | Définition |
|---|---|
| \(A\cap B\) | \(x\in A\) et \(x\in B\) |
| \(A\cup B\) | \(x\in A\) ou \(x\in B\) |
| \(A\setminus B\) | \(x\in A\) et \(x\notin B\), soit \(A\cap\overline{B}\) |
| \(\overline{A}\) | \(x\in E\) et \(x\notin A\) |
Lois de De Morgan : \(\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap\overline{B}\) et \(\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup\overline{B}\).
Distributivité : \(A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)\) et \(A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)\).
| Application \(f : E\to F\) | Définition |
|---|---|
| Injective | \(f(a) = f(b) \Rightarrow a = b\) |
| Surjective | tout \(y\in F\) a au moins un antécédent |
| Bijective | injective et surjective |
| Réciproque | \(f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y\) |
Composition : \((g\circ f)(x) = g\big(f(x)\big)\) ; si \(f\) et \(g\) sont bijectives, \((g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer les opérations ensemblistes et démontrer une égalité par double inclusion.
- Montrer qu'une application est injective, surjective, bijective.
- Déterminer une réciproque et une image directe.
- Restreindre domaine et but pour obtenir une bijection.
Les pièges à éviter
- Une égalité d'ensembles se démontre par double inclusion (ou équivalences).
- \(f\) non injective sur \(\mathbb{R}\) peut le devenir sur une restriction.
- \(f^{-1}\) n'existe que si \(f\) est bijective.
- Ne pas confondre image directe \(f(A)\) et image réciproque \(f^{-1}(B)\).
Testez-vous en 3 minutes
\(A\setminus B\) avec \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2\}\) ? \(\overline{A\cup B}\) s'écrit… ? \(x\mapsto 2x+1\) est-elle bijective sur \(\mathbb{R}\) ? Réciproque ?
Réponses
\(\{1\,;3\}\) ; \(\overline A\cap\overline B\) ; oui ; \(y\mapsto\dfrac{y-1}{2}\).