Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
\(E = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\), \(A = \{2\,;3\,;5\}\) et \(B = \{1\,;3\,;6\}\).
- Déterminer \(A\cap B\), \(A\cup B\) et \(A\setminus B\). (3 pts)
- Vérifier sur cet exemple que \(\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup\overline{B}\). (2 pts)
Correction
- \(A\cap B = \{3\}\) ; \(A\cup B = \{1\,;2\,;3\,;5\,;6\}\) ; \(A\setminus B = \{2\,;5\}\).
- \(\overline{A\cap B} = \{1\,;2\,;4\,;5\,;6\}\) ; \(\overline{A} = \{1\,;4\,;6\}\) et \(\overline{B} = \{2\,;4\,;5\}\), dont la réunion est \(\{1\,;2\,;4\,;5\,;6\}\) ✓.
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x) = 3x + 5\).
- Montrer que \(f\) est injective. (2 pts)
- Montrer que \(f\) est surjective, puis déterminer \(f^{-1}\). (3 pts)
Correction
- \(f(a) = f(b)\) donne \(3a + 5 = 3b + 5\), donc \(a = b\).
- Pour tout \(y\), \(x = \dfrac{y-5}{3}\) vérifie \(f(x) = y\) : \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y) = \dfrac{y-5}{3}\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x) = x^2 - 4x\).
- \(g\) est-elle injective ? Justifier. (2 pts)
- Déterminer l'image de \(\mathbb{R}\) par \(g\). (3 pts)
Correction
- Non : \(g(0) = g(4) = 0\).
- \(g(x) = (x-2)^2 - 4 \ge -4\) : l'image est \([-4\,;+\infty[\).
Exercice 4 (5 pts)
Démontrer que \(A\setminus(B\cup C) = (A\setminus B)\cap(A\setminus C)\).
Correction
\(x\in A\setminus(B\cup C)\) signifie \(x\in A\) et \(x\notin B\) et \(x\notin C\). C'est exactement \(x\in A\setminus B\) et \(x\in A\setminus C\), donc \(x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\) — et réciproquement.