Série 2 — opérations sur les ensembles, injections et surjections.
Exercice 1
Soient \(A = \{1\,;2\,;3\,;4\}\) et \(B = \{3\,;4\,;5\}\) dans \(E = \{1\,;\ldots\,;6\}\). Déterminer \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A\setminus B\) et \(\overline{A}\).
Correction
\(A\cap B = \{3\,;4\}\) ; \(A\cup B = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\}\) ; \(A\setminus B = \{1\,;2\}\) ; \(\overline{A} = \{5\,;6\}\).
Exercice 2
Démontrer que \(\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap\overline{B}\).
Correction
\(x\in\overline{A\cup B}\) signifie \(x\notin A\) et \(x\notin B\), c'est-à-dire \(x\in\overline{A}\) et \(x\in\overline{B}\), donc \(x\in\overline{A}\cap\overline{B}\). Les deux implications étant réversibles, les ensembles sont égaux.
Exercice 3
Soit \(f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \(f(x) = 2x - 3\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).
Correction
Pour tout \(y\), l'équation \(2x - 3 = y\) a l'unique solution \(x = \dfrac{y+3}{2}\) : \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y) = \dfrac{y+3}{2}\).
Exercice 4
Soit \(g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\). Étudier l'injectivité et la surjectivité de \(g\), puis proposer une restriction qui la rend bijective.
Correction
\(g\) n'est pas injective (\(g(-2) = g(2)\)) ni surjective (\(-1\) n'a pas d'antécédent). La restriction \(g : [0\,;+\infty[\;\to\;[0\,;+\infty[\) est bijective, de réciproque \(\sqrt{\;}\).
Exercice 5
Soient \(f(x) = x + 1\) et \(g(x) = x^2\). Déterminer \(f\circ g\) et \(g\circ f\), puis \((f\circ g)^{-1}\) si elle existe sur un domaine adapté.
Correction
\((f\circ g)(x) = x^2 + 1\) et \((g\circ f)(x) = (x+1)^2\). Sur \([0\,;+\infty[\;\to\;[1\,;+\infty[\), \(f\circ g\) est bijective et \((f\circ g)^{-1}(y) = \sqrt{y-1}\).
Exercice 6
Montrer que, pour tous ensembles \(A\) et \(B\), \(A\setminus B = A\cap\overline{B}\).
Correction
\(x\in A\setminus B\) signifie \(x\in A\) et \(x\notin B\), c'est-à-dire \(x\in A\) et \(x\in\overline{B}\), donc \(x\in A\cap\overline{B}\) — et réciproquement.
Exercice 7
Soit \(f : E\to F\) et \(A\), \(B\) deux parties de \(E\). Montrer que \(f(A\cup B) = f(A)\cup f(B)\).
Correction
\(y\in f(A\cup B)\) s'il existe \(x\in A\cup B\) avec \(y = f(x)\), donc \(x\in A\) ou \(x\in B\), soit \(y\in f(A)\) ou \(y\in f(B)\). Réciproquement, \(f(A)\subset f(A\cup B)\) et \(f(B)\subset f(A\cup B)\), d'où l'égalité.