L'essentiel en une page
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt x}\) |
| \(\dfrac1x\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(1 + \tan^2 x\) |
| Opération | Dérivée |
| \(u + v\) | \(u' + v'\) |
| \(uv\) | \(u'v + uv'\) |
| \(\dfrac uv\) | \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt u\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt u}\) |
Nombre dérivé : \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) ; c'est le coefficient directeur de la tangente en \(a\).
Tangente : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Tangente horizontale \(\iff f'(a) = 0\).
Variations : \(f' > 0\) sur un intervalle \(\Rightarrow\) \(f\) y est croissante ; \(f' < 0\) \(\Rightarrow\) décroissante.
Ce que je dois savoir faire
- Dériver une somme, un produit, un quotient, une puissance, une racine.
- Écrire l'équation d'une tangente.
- Étudier le signe de \(f'\) et dresser un tableau de variations.
- Trouver les points à tangente horizontale.
Les pièges à éviter
- La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.
- Pour \(\sqrt u\), le domaine de dérivabilité exclut les points où \(u = 0\).
- Dans \(\dfrac uv\), le numérateur est \(u'v - uv'\) : l'ordre compte.
- \(f'(a) = 0\) ne garantit pas un extremum : il faut un changement de signe.
Testez-vous en 3 minutes
Dérivée de \(x^5\) ? De \(\dfrac{1}{x}\) ? De \((2x+1)^3\) ? Tangente à \(f(x)=x^2\) en \(a = 3\) ?
Réponses
\(5x^4\) ; \(-\dfrac1{x^2}\) ; \(6(2x+1)^2\) ; \(y = 6x - 9\).