Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer la dérivée de :
- \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4\) (2 pts)
- \(g(x) = (3x + 1)(x - 4)\) (2 pts)
- \(h(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2}\) (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = 6x^2 - 10x\).
- \(g'(x) = 3(x-4) + (3x+1) = 6x - 11\).
- \(h'(x) = \dfrac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \dfrac{5}{(x+2)^2}\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
- Calculer \(f'(x)\). (2 pts)
- Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(1\). (3 pts)
Correction
- \(f'(x) = 2x - 4\).
- \(f(1) = 0\) et \(f'(1) = -2\) : la tangente a pour équation \(y = -2(x-1) = -2x + 2\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. (3 pts)
- Dresser le tableau de variations de \(f\). (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) : positive sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]2\,;+\infty[\), négative sur \(]0\,;2[\).
- \(f\) croît jusqu'à \(f(0) = 2\) (maximum local), décroît jusqu'à \(f(2) = -2\) (minimum local), puis croît.
Exercice 4 (4 pts)
Calculer la dérivée de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\), puis donner \(f'(0)\).
Correction
\(f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) ; \(f'(0) = 0\).