Série 2 — nombre dérivé, tangentes et dérivées composées.
Exercice 1
Calculer la dérivée de chaque fonction.
- \(f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7\)
- \(g(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)\)
- \(h(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1}\)
Correction
- \(f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5\).
- \(g'(x) = 2(x^2+3) + (2x-1)(2x) = 6x^2 - 2x + 6\).
- \(h'(x) = \dfrac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2}\).
Exercice 2
Calculer la dérivée de \(f(x) = \sqrt{3x + 1}\) et préciser son domaine de dérivabilité.
Correction
\(f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\), définie pour \(x > -\dfrac13\) (la fonction est définie pour \(x \ge -\dfrac13\)).
Exercice 3
Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). Déterminer l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(2\).
Correction
\(f(2) = 3\) et \(f'(x) = 3x^2 - 3\), donc \(f'(2) = 9\). La tangente a pour équation \(y = 9(x - 2) + 3 = 9x - 15\).
Exercice 4
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}\). Étudier le signe de \(f'\) et en déduire les variations de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\).
Correction
\(f(x) = x + \dfrac1x\), donc \(f'(x) = 1 - \dfrac1{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}\). \(f'\) est négative sur \(]0\,;1[\) et positive sur \(]1\,;+\infty[\) : \(f\) décroît puis croît, avec un minimum \(f(1) = 2\).
Exercice 5
Calculer la dérivée de \(f(x) = (x^2 - 3x)^4\).
Correction
\(f'(x) = 4(x^2 - 3x)^3\times(2x - 3)\).
Exercice 6
Soit \(f(x) = \sin(2x) + \cos x\). Calculer \(f'(x)\) puis \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
Correction
\(f'(x) = 2\cos(2x) - \sin x\) ; \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\cos\pi - 1 = -3\).
Exercice 7
Déterminer les points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale, pour \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
Correction
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)\), qui s'annule en \(1\) et \(3\). Les points sont \((1\,;5)\) et \((3\,;1)\).