L'essentiel en une page
| Situation | Formule | Ordre ? |
|---|---|---|
| \(p\)-listes (répétition permise) | \(n^p\) | oui |
| Arrangements | \(A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}\) | oui |
| Permutations | \(n!\) | oui |
| Combinaisons | \(\binom np = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}\) | non |
Choisir la bonne formule : y a-t-il répétition ? l'ordre compte-t-il ? Un tirage *simultané* est une combinaison ; un tirage *successif sans remise* est un arrangement.
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Symétrie | \(\binom nk = \binom n{n-k}\) |
| Pascal | \(\binom nk + \binom n{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\) |
| Somme | \(\sum_{k=0}^{n}\binom nk = 2^n\) |
| Binôme de Newton | \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{n-k}b^k\) |
Anagrammes avec répétitions : \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\), où \(n_i\) est le nombre de répétitions de chaque lettre.
Principe multiplicatif : si une tâche se décompose en étapes indépendantes, on multiplie les nombres de choix.
Ce que je dois savoir faire
- Distinguer liste, arrangement, permutation, combinaison.
- Compter des tirages avec conditions (exactement \(k\) éléments d'un type).
- Calculer des anagrammes avec lettres répétées.
- Utiliser Pascal et le binôme de Newton.
- Traiter les cas « au moins » par passage au complémentaire.
Les pièges à éviter
- « Simultanément » veut dire sans ordre : combinaison.
- Pour « au moins un », il est souvent plus simple de compter le contraire.
- Quand deux groupes ne sont pas distingués, penser à diviser par \(2\).
- \(\binom n0 = \binom nn = 1\), et \(0! = 1\).
Testez-vous en 3 minutes
\(A_5^2\) ? \(\binom63\) ? Anagrammes de « ETE » ? Nombre de parties d'un ensemble à \(4\) éléments ?
Réponses
\(20\) ; \(20\) ; \(\dfrac{3!}{2!} = 3\) ; \(2^4 = 16\).