Série 2 — arrangements, combinaisons et problèmes de comptage.
Exercice 1
Combien de mots de \(4\) lettres distinctes peut-on former avec les \(26\) lettres de l'alphabet ?
Correction
C'est un arrangement : \(A_{26}^{4} = 26\times25\times24\times23 = 358\,800\).
Exercice 2
Dans une classe de \(30\) élèves, on choisit un comité de \(3\) élèves.
- Combien de comités possibles ?
- Et si l'on distingue un président, un secrétaire et un trésorier ?
Correction
- \(\binom{30}{3} = \dfrac{30\times29\times28}{6} = 4\,060\).
- \(A_{30}^{3} = 30\times29\times28 = 24\,360\).
Exercice 3
Une urne contient \(5\) boules rouges et \(4\) boules vertes. On en tire \(3\) simultanément.
- Combien de tirages possibles ?
- Combien contiennent exactement \(2\) rouges ?
Correction
- \(\binom{9}{3} = 84\).
- \(\binom52\times\binom41 = 10\times4 = 40\).
Exercice 4
Combien d'anagrammes du mot « MATHS » ? Et du mot « ANNEE » ?
Correction
« MATHS » a \(5\) lettres distinctes : \(5! = 120\). « ANNEE » a \(5\) lettres avec deux \(N\) et deux \(E\) : \(\dfrac{5!}{2!\times2!} = 30\).
Exercice 5
Démontrer que \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), puis la relation de Pascal \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\).
Correction
Choisir \(k\) éléments revient à en écarter \(n-k\) : d'où la première égalité. Pour Pascal : on fixe un élément \(a\) ; les parties à \(k+1\) éléments de \(E\) contiennent \(a\) (il reste \(\binom{n}{k}\) choix) ou non (\(\binom{n}{k+1}\) choix).
Exercice 6
Combien de nombres de \(3\) chiffres distincts peut-on former avec les chiffres \(1\) à \(7\) ? Combien sont pairs ?
Correction
\(A_7^3 = 7\times6\times5 = 210\). Pairs : le chiffre des unités est \(2\), \(4\) ou \(6\) (\(3\) choix), puis \(6\times5 = 30\) pour les deux autres : \(3\times30 = 90\).
Exercice 7
De combien de façons peut-on répartir \(10\) personnes en deux groupes de \(5\) ?
Correction
Le choix du premier groupe donne \(\binom{10}{5} = 252\), mais les deux groupes ne sont pas distingués : il faut diviser par \(2\). La réponse est \(126\).