L'essentiel en une page
Définition. \(G\) est le barycentre de \(\{(A_i\,;\alpha_i)\}\) si \(\sum\alpha_i \ne 0\) et \(\sum\alpha_i\vec{GA_i} = \vec0\).
| Propriété | Écriture |
|---|---|
| Relation fondamentale | \(\sum\alpha_i\vec{MA_i} = \left(\sum\alpha_i\right)\vec{MG}\) |
| Coordonnées | \(x_G = \dfrac{\sum\alpha_i x_i}{\sum\alpha_i}\) |
| Homogénéité | on peut multiplier tous les coefficients par \(k \ne 0\) |
| Associativité | on remplace un sous-groupe par son barycentre partiel |
| Isobarycentre | tous les coefficients égaux |
Cas usuels : l'isobarycentre de \(\{A\,;B\}\) est le milieu de \([AB]\) ; celui de \(\{A\,;B\,;C\}\) est le centre de gravité du triangle.
Lieu géométrique : \(\lVert\sum\alpha_i\vec{MA_i}\rVert = k\) se réduit à \(\left\lvert\sum\alpha_i\right\rvert\times MG = k\), donc à un cercle de centre \(G\).
Ce que je dois savoir faire
- Construire un barycentre et exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
- Calculer les coordonnées d'un barycentre.
- Utiliser l'associativité pour simplifier un système de points.
- Reconnaître le centre de gravité comme isobarycentre.
- Déterminer un lieu géométrique avec la relation fondamentale.
Les pièges à éviter
- La somme des coefficients doit être non nulle.
- Ne pas confondre \(\vec{GA}\) et \(\vec{AG}\) : le signe change.
- L'homogénéité permet de simplifier, mais tous les coefficients doivent être multipliés.
- Dans un lieu géométrique, on sort \(\left\lvert\sum\alpha_i\right\rvert\) en valeur absolue.
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Barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;1)\}\) ? De \(\{(A\,;1)\,;(B\,;3)\}\) : que vaut \(\vec{AG}\) ? Coordonnées du barycentre de \(\{(A(0\,;0)\,;2)\,;(B(4\,;8)\,;2)\}\) ?
Réponses
Le milieu de \([AB]\) ; \(\vec{AG} = \dfrac34\vec{AB}\) ; \((2\,;4)\).