Série 2 — barycentres, associativité et lieux géométriques.
Exercice 1
\(A\) et \(B\) sont deux points. Construire le barycentre \(G\) de \(\{(A\,;3)\,;(B\,;1)\}\) et exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
Correction
\(3\vec{GA} + \vec{GB} = \vec0\) donne \(\vec{AG} = \dfrac{1}{4}\vec{AB}\) : \(G\) est au quart de \([AB]\) à partir de \(A\).
Exercice 2
Dans un repère, \(A(1\,;2)\), \(B(5\,;-2)\) et \(C(3\,;6)\). Calculer les coordonnées du barycentre \(G\) de \(\{(A\,;2)\,;(B\,;1)\,;(C\,;1)\}\).
Correction
\(x_G = \dfrac{2\times1 + 5 + 3}{4} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\) et \(y_G = \dfrac{4 - 2 + 6}{4} = 2\) : \(G(2{,}5\,;2)\).
Exercice 3
Montrer que le centre de gravité d'un triangle \(ABC\) est le barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;1)\,;(C\,;1)\}\).
Correction
Par définition, \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec0\). En introduisant le milieu \(I\) de \([BC]\) : \(\vec{GB} + \vec{GC} = 2\vec{GI}\), donc \(\vec{GA} + 2\vec{GI} = \vec0\), soit \(\vec{AG} = \dfrac23\vec{AI}\) : c'est bien le centre de gravité.
Exercice 4
\(G\) est le barycentre de \(\{(A\,;2)\,;(B\,;3)\,;(C\,;5)\}\). En utilisant l'associativité, exprimer \(G\) à l'aide du barycentre \(H\) de \(\{(A\,;2)\,;(B\,;3)\}\).
Correction
\(G\) est le barycentre de \(\{(H\,;5)\,;(C\,;5)\}\), c'est-à-dire le milieu de \([HC]\).
Exercice 5
Déterminer l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\lVert 2\vec{MA} + \vec{MB}\rVert = 6\), où \(AB = 3\).
Correction
Soit \(G\) le barycentre de \(\{(A\,;2)\,;(B\,;1)\}\). Alors \(2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}\), donc \(3MG = 6\) et \(MG = 2\). L'ensemble est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\).
Exercice 6
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). Montrer que \(O\) est le barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;1)\,;(C\,;1)\,;(D\,;1)\}\).
Correction
\(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\), donc \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec0\) et \(\vec{OB} + \vec{OD} = \vec0\). En additionnant : \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec0\) : \(O\) est bien l'isobarycentre.
Exercice 7
\(A(0\,;0)\) et \(B(6\,;3)\). Déterminer \(\alpha\) pour que le barycentre de \(\{(A\,;\alpha)\,;(B\,;2)\}\) ait pour abscisse \(4\).
Correction
\(x_G = \dfrac{12}{\alpha + 2} = 4\) donne \(\alpha + 2 = 3\), soit \(\alpha = 1\).