L'essentiel en une page
Définition. Si \(\sum\alpha_i \ne 0\), le barycentre \(G\) vérifie \(\sum\alpha_i\vec{GA_i} = \vec0\).
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Relation fondamentale | \(\sum\alpha_i\vec{MA_i} = \left(\sum\alpha_i\right)\vec{MG}\) |
| Coordonnées | \(x_G = \dfrac{\sum\alpha_i x_i}{\sum\alpha_i}\) |
| Deux points | \(\vec{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\vec{AB}\) |
| Associativité | regrouper un sous-ensemble |
| Isobarycentre | coefficients égaux |
Lien statistique : la moyenne pondérée \(\bar x = \dfrac{\sum n_ix_i}{\sum n_i}\) est l'abscisse du barycentre des valeurs pondérées par les effectifs.
Lieu géométrique : \(\lVert\sum\alpha_i\vec{MA_i}\rVert = k\) devient \(\left\lvert\sum\alpha_i\right\rvert\times MG = k\) : c'est un cercle de centre \(G\).
Ce que je dois savoir faire
- Construire un barycentre et calculer ses coordonnées.
- Utiliser l'associativité pour simplifier.
- Relier barycentre et moyenne pondérée.
- Déterminer un lieu géométrique.
Les pièges à éviter
- La somme des coefficients doit être non nulle.
- \(\vec{AG}\) et \(\vec{GA}\) sont opposés.
- Dans une moyenne pondérée, on divise par la somme des effectifs.
- Deux coefficients égaux donnent le milieu.
Testez-vous en 3 minutes
\(\vec{AG}\) pour \(\{(A\,;1)\,;(B\,;1)\}\) ? Pour \(\{(A\,;1)\,;(B\,;4)\}\) ? Moyenne pondérée de \(10\) (effectif \(3\)) et \(20\) (effectif \(2\)) ?
Réponses
\(\dfrac12\vec{AB}\) ; \(\dfrac45\vec{AB}\) ; \(14\).