Série 2 — barycentres, moyennes pondérées et applications.
Exercice 1
\(A\) et \(B\) sont deux points. Construire le barycentre de \(\{(A\,;2)\,;(B\,;3)\}\) et exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
Correction
\(\vec{AG} = \dfrac{3}{5}\vec{AB}\) : \(G\) est aux trois cinquièmes de \([AB]\) à partir de \(A\).
Exercice 2
Dans un repère, \(A(0\,;2)\), \(B(6\,;0)\) et \(C(3\,;6)\). Calculer les coordonnées du barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;2)\,;(C\,;3)\}\).
Correction
\(x_G = \dfrac{0 + 12 + 9}{6} = 3{,}5\) et \(y_G = \dfrac{2 + 0 + 18}{6} = \dfrac{10}{3}\).
Exercice 3
Expliquer le lien entre barycentre et moyenne pondérée d'une série statistique.
Correction
Si les valeurs \(x_i\) sont affectées des effectifs \(n_i\), la moyenne \(\bar x = \dfrac{\sum n_ix_i}{\sum n_i}\) est exactement l'abscisse du barycentre des points \((x_i)\) pondérés par \(n_i\).
Exercice 4
Trois produits ont pour prix \(20\), \(35\) et \(50\) dh, vendus respectivement en \(100\), \(150\) et \(50\) unités. Calculer le prix moyen.
Correction
\(\bar p = \dfrac{100\times20 + 150\times35 + 50\times50}{300} = \dfrac{2\,000 + 5\,250 + 2\,500}{300} = \dfrac{9\,750}{300} = 32{,}5\) dh.
Exercice 5
\(G\) est le barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;2)\,;(C\,;1)\}\) et \(I\) le milieu de \([AC]\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([IB]\).
Correction
Par associativité, \(G\) est le barycentre de \(\{(I\,;2)\,;(B\,;2)\}\) : les coefficients sont égaux, donc \(G\) est le milieu de \([IB]\).
Exercice 6
Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\lVert\vec{MA} + 3\vec{MB}\rVert = 12\), avec \(AB = 5\).
Correction
Soit \(G\) le barycentre de \(\{(A\,;1)\,;(B\,;3)\}\) : l'expression vaut \(4\vec{MG}\), donc \(MG = 3\). L'ensemble est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(3\).
Exercice 7
Déterminer \(\alpha\) pour que le barycentre de \(\{(A\,;\alpha)\,;(B\,;3)\}\) soit le milieu de \([AB]\).
Correction
Le milieu correspond à des coefficients égaux : \(\alpha = 3\).