Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
\(A(1\,;4)\) et \(B(7\,;-2)\).
- Calculer les coordonnées du barycentre \(G\) de \(\{(A\,;2)\,;(B\,;1)\}\). (3 pts)
- Exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\). (2 pts)
Correction
- \(x_G = \dfrac{2 + 7}{3} = 3\) et \(y_G = \dfrac{8 - 2}{3} = 2\) : \(G(3\,;2)\).
- \(\vec{AG} = \dfrac13\vec{AB}\).
Exercice 2 (5 pts)
\(A(0\,;0)\), \(B(4\,;2)\), \(C(2\,;6)\). Calculer les coordonnées de l'isobarycentre des trois points.
Correction
\(G\left(\dfrac{0+4+2}{3}\,;\dfrac{0+2+6}{3}\right) = (2\,;\tfrac83)\).
Exercice 3 (5 pts)
Une entreprise vend trois articles aux prix \(15\), \(25\) et \(40\) dh, en quantités \(200\), \(300\) et \(100\).
- Calculer le prix moyen pondéré. (3 pts)
- Expliquer en quoi il s'agit d'un barycentre. (2 pts)
Correction
- \(\dfrac{200\times15 + 300\times25 + 100\times40}{600} = \dfrac{3\,000 + 7\,500 + 4\,000}{600} = \dfrac{14\,500}{600} \approx 24{,}17\) dh.
- C'est l'abscisse du barycentre des prix pondérés par les quantités.
Exercice 4 (5 pts)
\(A\) et \(B\) sont tels que \(AB = 6\). Déterminer l'ensemble des points \(M\) vérifiant \(\lVert 2\vec{MA} + 2\vec{MB}\rVert = 8\).
Correction
Le barycentre de \(\{(A\,;2)\,;(B\,;2)\}\) est le milieu \(I\) de \([AB]\), et l'expression vaut \(4\vec{MI}\). Donc \(MI = 2\) : le lieu est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(2\).