Série 2 — aires totales, problèmes de contenance et grandeurs inverses. On prendra \(\pi\approx3{,}14\).
Exercice 1
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm, et une hauteur de \(10\) cm.
- Calculer l'aire de la base.
- Calculer le volume.
- Calculer l'aire latérale puis l'aire totale.
Correction
- \(\dfrac{3\times4}{2} = 6\ \mathrm{cm}^2\).
- \(6\times10 = 60\ \mathrm{cm}^3\).
- Périmètre de la base \(= 12\) cm, donc \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 120\ \mathrm{cm}^2\) et \(\mathcal{A}_{\text{tot}} = 120 + 12 = 132\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 2
Une boîte de conserve cylindrique a un diamètre de \(8\) cm et une hauteur de \(12\) cm.
- Calculer son volume en \(\mathrm{cm}^3\).
- Le convertir en millilitres.
Correction
- \(r = 4\) donc \(V = \pi\times16\times12 = 192\pi\approx602{,}9\ \mathrm{cm}^3\).
- Environ \(603\) mL.
Exercice 3
Un cylindre a un volume de \(500\pi\ \mathrm{cm}^3\) et une hauteur de \(20\) cm. Calculer son rayon.
Correction
\(\pi r^2\times20 = 500\pi\) donc \(r^2 = 25\) et \(r = 5\) cm.
Exercice 4
Un réservoir cylindrique a un rayon de \(50\) cm et une hauteur de \(1{,}2\) m.
- Exprimer toutes les longueurs en dm.
- Calculer sa contenance en litres.
Correction
- \(r = 5\) dm et \(h = 12\) dm.
- \(V = \pi\times25\times12 = 300\pi\approx942\ \mathrm{dm}^3\), soit environ \(942\) litres.
Exercice 5
Un cube a un volume de \(216\ \mathrm{cm}^3\).
- Calculer son arête.
- Calculer son aire totale.
Correction
- \(6^3 = 216\) donc l'arête mesure \(6\) cm.
- \(6\) faces carrées : \(6\times36 = 216\ \mathrm{cm}^2\).
Exercice 6
Deux cylindres ont la même hauteur, mais le second a un rayon deux fois plus grand.
- Comparer leurs aires latérales.
- Comparer leurs volumes.
Correction
- L'aire latérale \(2\pi r h\) est doublée.
- Le volume \(\pi r^2 h\) est multiplié par \(4\).
Exercice 7
Une piscine a la forme d'un pavé droit de \(8\) m sur \(4\) m, remplie d'eau sur \(1{,}5\) m de hauteur.
- Calculer le volume d'eau en \(\mathrm{m}^3\).
- Le convertir en litres.
Correction
- \(8\times4\times1{,}5 = 48\ \mathrm{m}^3\).
- \(48\,000\) litres.