Série 2 — angles associés, équations trigonométriques et calculs exacts.
Exercice 1
Convertir en radians : \(30°\), \(135°\) et \(210°\). Convertir en degrés : \(\dfrac{3\pi}{4}\) et \(\dfrac{5\pi}{6}\).
Correction
\(\dfrac{\pi}{6}\) ; \(\dfrac{3\pi}{4}\) ; \(\dfrac{7\pi}{6}\) ; \(135°\) ; \(150°\).
Exercice 2
Calculer \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\tan\dfrac{5\pi}{4}\).
Correction
\(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12\) ; \(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac12\) ; \(\tan\dfrac{5\pi}{4} = 1\).
Exercice 3
Sachant que \(\cos x = \dfrac35\) et \(x\in\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\), calculer \(\sin x\) puis \(\tan x\).
Correction
\(\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\) ; comme \(x\) est dans le premier quadrant, \(\sin x = \dfrac45\) et \(\tan x = \dfrac43\).
Exercice 4
Simplifier \(A = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\).
Correction
\(A = -\cos x - \cos x + \cos x = -\cos x\).
Exercice 5
Résoudre dans \([0\,;2\pi[\) : \(\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2}\), puis \(\sin x = -\dfrac12\).
Correction
\(\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2}\) : \(x = \dfrac{\pi}{4}\) ou \(x = \dfrac{7\pi}{4}\). \(\sin x = -\dfrac12\) : \(x = \dfrac{7\pi}{6}\) ou \(x = \dfrac{11\pi}{6}\).
Exercice 6
Montrer que \(\dfrac{1 - \cos^2 x}{\sin x} = \sin x\) pour tout \(x\) tel que \(\sin x \ne 0\).
Correction
\(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\), donc le quotient vaut \(\dfrac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x\).
Exercice 7
Un arc de cercle de rayon \(6\) cm est associé à un angle au centre de \(\dfrac{\pi}{3}\) rad.
- Calculer la longueur de l'arc.
- Calculer l'aire du secteur correspondant.
Correction
- \(\ell = R\alpha = 6\times\dfrac{\pi}{3} = 2\pi \approx 6{,}28\) cm.
- \(\mathcal{A} = \dfrac{R^2\alpha}{2} = \dfrac{36\times\frac{\pi}{3}}{2} = 6\pi \approx 18{,}8\) cm².