L'essentiel en une page
| Connecteur | Vraie lorsque… |
|---|---|
| \(\overline{P}\) | \(P\) est fausse |
| \(P \text{ et } Q\) | les deux sont vraies |
| \(P \text{ ou } Q\) | au moins une est vraie |
| \(P \Rightarrow Q\) | sauf si \(P\) vraie et \(Q\) fausse |
| \(P \Leftrightarrow Q\) | \(P\) et \(Q\) ont la même valeur |
Négation des quantificateurs : la négation de \((\forall x)\,P(x)\) est \((\exists x)\,\overline{P(x)}\) ; celle de \((\exists x)\,P(x)\) est \((\forall x)\,\overline{P(x)}\).
Lois de De Morgan : \(\overline{P \text{ et } Q} = \overline{P} \text{ ou } \overline{Q}\) · \(\overline{P \text{ ou } Q} = \overline{P} \text{ et } \overline{Q}\).
| Raisonnement | Quand l'utiliser |
|---|---|
| Déduction directe | la conclusion s'enchaîne naturellement |
| Contraposée | on prouve \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\) |
| Absurde | on suppose le contraire et on arrive à une contradiction |
| Contre-exemple | pour montrer qu'un « pour tout » est faux |
| Disjonction des cas | pair ou impair, positif ou négatif… |
| Récurrence | une propriété portant sur tout \(n\in\mathbb{N}\) |
Ce que je dois savoir faire
- Écrire la négation d'une proposition quantifiée, en inversant l'ordre des quantificateurs.
- Dresser une table de vérité et reconnaître une tautologie.
- Rédiger une démonstration par contraposée et par l'absurde.
- Réfuter une proposition par un contre-exemple.
- Rédiger une récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
Les pièges à éviter
- La négation de \(x > 0\) est \(x \le 0\), pas \(x < 0\).
- La négation de « pour tout » est « il existe », pas « pour tout… ne… pas ».
- \((\forall x)(\exists y)\) et \((\exists y)(\forall x)\) n'ont pas le même sens.
- Un exemple ne démontre pas un « pour tout » ; un contre-exemple suffit pour le réfuter.
- Dans une récurrence, l'hérédité seule ne suffit pas : l'initialisation est obligatoire.
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Négation de \((\forall x\in\mathbb{R})(x^2 \ge 1)\) ? Contraposée de « si \(n\) est premier et \(n>2\) alors \(n\) est impair » ? La proposition \((\forall x\in\mathbb{R})(x^2 > 0)\) est-elle vraie ?
Réponses
\((\exists x\in\mathbb{R})(x^2 < 1)\) ; « si \(n\) est pair alors \(n\) n'est pas premier ou \(n \le 2\) » ; fausse, contre-exemple \(x = 0\).