Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Soient \(P\) : « \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2 - 2x + 2 > 0\) » et \(Q\) : « \(\exists x \in \mathbb{R},\ |x| < x\) ».
- Écrire la négation de \(P\) et de \(Q\). (2 pts)
- Déterminer la valeur de vérité de \(P\) et de \(Q\). (3 pts)
Correction
- \(\overline{P}\) : \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2-2x+2 \le 0\). \(\overline{Q}\) : \(\forall x\in\mathbb{R},\ |x| \ge x\).
- \(x^2-2x+2 = (x-1)^2+1 \ge 1 > 0\) : \(P\) vraie. On a toujours \(|x| \ge x\) : \(Q\) fausse.
Exercice 2 (5 pts)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer que : \((a \neq b \text{ et } ab \neq 1) \Rightarrow \frac{a}{a^2+1} \neq \frac{b}{b^2+1}\) (indication : contraposée).
Correction
Contraposée : supposons \(\frac{a}{a^2+1} = \frac{b}{b^2+1}\). Alors \(ab^2 + a = a^2b + b\), soit \(ab^2 - a^2b + a - b = 0\), c'est-à-dire \(ab(b-a) - (b-a) = 0\), donc \((b-a)(ab-1) = 0\). Ainsi \(a = b\) ou \(ab = 1\). Par contraposée, si \(a\neq b\) et \(ab \neq 1\), les deux fractions sont différentes.
Exercice 3 (5 pts)
Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(3^n - 1\) est divisible par \(2\).
Correction
Initialisation : \(3^0 - 1 = 0\), divisible par \(2\). Hérédité : si \(3^n - 1 = 2k\), alors \(3^{n+1} - 1 = 3\cdot3^n - 1 = 3(2k+1) - 1 = 6k+2 = 2(3k+1)\). Conclusion vraie pour tout \(n\).
Exercice 4 (5 pts)
- Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(\sqrt{x^2+1} > |x|\). (2 pts)
- Montrer par l'absurde que \(\frac{1}{1+x^2} \neq 2\) pour tout réel \(x\). (3 pts)
Correction
- \(x^2 + 1 > x^2 \ge 0\) et la fonction racine est strictement croissante, donc \(\sqrt{x^2+1} > \sqrt{x^2} = |x|\).
- Supposons \(\frac{1}{1+x^2} = 2\). Alors \(1 = 2 + 2x^2\), soit \(x^2 = -\frac{1}{2} < 0\) : contradiction.