Exercice 1
Donner la valeur de vérité puis la négation de chaque proposition :
- \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0\)
- \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 = 0\)
- \(\forall n \in \mathbb{N},\ \exists m \in \mathbb{N},\ m > n\)
Correction
- Vraie. Négation : \(\exists x \in\mathbb{R},\ x^2 < 0\).
- Fausse (car \(x^2+1 \ge 1\)). Négation : \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2+1 \neq 0\).
- Vraie (prendre \(m = n+1\)). Négation : \(\exists n\in\mathbb{N},\ \forall m\in\mathbb{N},\ m \le n\).
Exercice 2
Montrer par contraposée : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), si \(n^2\) est impair alors \(n\) est impair.
Correction
Contraposée : si \(n\) est pair alors \(n^2\) est pair. Si \(n = 2k\), alors \(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\) est pair. D'où le résultat.
Exercice 3
Montrer par l'absurde que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
Correction
Supposons \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) avec \(p, q\) entiers, \(q\neq0\), fraction irréductible. Alors \(p^2 = 2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) pair : \(p = 2k\). Alors \(4k^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2k^2\) : \(q\) est pair. Donc \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité.
Exercice 4
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2 + n\) est pair (disjonction des cas).
Correction
Si \(n=2k\) : \(n^2+n = 4k^2+2k = 2(2k^2+k)\), pair. Si \(n=2k+1\) : \(n^2+n = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)\), pair.
Exercice 5
Montrer par récurrence que pour tout \(n \ge 1\) : \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2\).
Correction
Initialisation : \(n=1\), \(1 = 1^2\). Hérédité : supposons \(1+3+\dots+(2n-1) = n^2\). Alors \(1+3+\dots+(2n-1)+(2n+1) = n^2+2n+1 = (n+1)^2\). Conclusion : la propriété est vraie pour tout \(n\ge1\).
Exercice 6
Soit \(x \in \mathbb{R}\). Montrer que : \(x \neq -2 \Rightarrow \frac{x+1}{x+2} \neq 1\).
Correction
Par contraposée : si \(\frac{x+1}{x+2} = 1\) (avec \(x\neq-2\)), alors \(x+1 = x+2\), soit \(1 = 2\), impossible. Donc l'égalité n'est jamais vraie : la proposition est vraie.