Série 2 — négations, quantificateurs et démonstrations rédigées.
Exercice 1
Écrire la négation de chacune des propositions suivantes.
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^2 + 1 > 0)\)
- \((\exists x\in\mathbb{R})\;(x^2 = 2)\)
- \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\;(x + y = 0)\)
Correction
- \((\exists x\in\mathbb{R})\;(x^2 + 1 \le 0)\).
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^2 \ne 2)\).
- \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\;(x + y \ne 0)\).
Exercice 2
Soient \(P\) et \(Q\) deux propositions. Montrer, à l'aide d'une table de vérité, que \(P \Rightarrow Q\) et \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\) ont la même valeur de vérité.
Correction
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) | \(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | F |
| F | V | V | V |
| F | F | V | V |
Les deux colonnes sont identiques : les propositions sont équivalentes. C'est le principe du raisonnement par contraposée.
Exercice 3
Montrer par contraposée que, pour tout entier naturel \(n\), si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair.
Correction
Contraposée : si \(n\) est impair alors \(n^2\) est impair. Si \(n = 2k+1\), alors \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\), qui est impair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ est vraie.
Exercice 4
Montrer par l'absurde que \(\sqrt2\) est irrationnel.
Correction
Supposons \(\sqrt2 = \dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers naturels non nuls et la fraction irréductible. Alors \(p^2 = 2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair (exercice 3) : \(p = 2k\). Il vient \(4k^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2k^2\) : \(q\) est pair lui aussi. \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité. Donc \(\sqrt2\) est irrationnel.
Exercice 5
Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Justifier par une démonstration ou un contre-exemple.
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^2 \ge x)\)
- \((\forall x\in\mathbb{R})\;(x^2 + x + 1 > 0)\)
Correction
- Fausse : pour \(x = 0{,}5\), on a \(x^2 = 0{,}25 < 0{,}5\).
- Vraie : \(x^2 + x + 1 = \left(x + \dfrac12\right)^2 + \dfrac34 \ge \dfrac34 > 0\).
Exercice 6
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) :
Correction
Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(1 = \dfrac{1\times2}{2} = 1\). La propriété est vraie. Hérédité. Supposons la propriété vraie au rang \(n\). Alors
ce qui est la formule au rang \(n+1\). Conclusion. La propriété est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).
Exercice 7
Démontrer par disjonction des cas que, pour tout entier \(n\), le nombre \(n(n+1)\) est pair.
Correction
Cas 1 : \(n\) est pair, \(n = 2k\) ; alors \(n(n+1) = 2k(n+1)\) est pair. Cas 2 : \(n\) est impair, \(n = 2k+1\) ; alors \(n+1 = 2k+2\) est pair et \(n(n+1) = n\times2(k+1)\) est pair. Dans les deux cas, \(n(n+1)\) est pair.